Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Этот формализм делает возможным исследование двух важных типов задач: устойчивости геометрии Шварцшильда относительно малых возмущений [45, 46] и большого класса процессов излучения, имеющих место в поле шварцшильдовой черной дыры (разд. 5). Анализ малых возмущений геометрии Шварцшильда на основе спинорного формализма Ньюмена — Пенроуза был проведен Бардином и Прессом [48]. Их подход ведет к одному управляющему уравнению, определяющему временную и пространственную зависимости возмущений; однако потенциал этого уравнения является комплексным и
1J Полная форма возмущения была получена лишь недавно Янтценом.
408
Р. Руффини
дальнодействующим, и при решении этого уравнения возникают некоторые технические трудности. Чандрасекхар 1) дал явную форму преобразования, позволяющего перейти от метода возмущений Ньюмена — Пенроуза к формализму Редже — Уилера — Дзерилли.
Тот же метод разложения, который применялся для гравитационных возмущений, допускает исследование электромагнитных возмущений фоновой геометрии Шварцшильда. Угловая часть возмущения может быть снова разложена по хорошо известным векторным сферическим гармоникам на двумерной сфере, а определение фурье-образов радиальной и зависящей от времени частей возмущения сводится тогда к интегрированию двух уравнений типа шредингеровских (каждое для определенной четности) в форме уравнения (12). Пионерская работа в этой области была выполнена Уилером в рамках теории «геонов» [49]. Полный набор собственных функций и радиальные уравнения были даны в работе [50]. Соответствующие результаты в спинорном формализме Ньюмена — Пенроуза были получены Джонстоном [51, 52] и независимо Читре [53]. С помощью этого анализа электромагнитных возмущений оказалось возможным исследовать электромагнитное излучение заряда, свободно падающего в гравитационном поле [54] (разд. 5). Этот формализм дал также точные решения электростатических задач в поле черных дыр [55] (см. также [41, 42, 56]) (разд. 6). Было также исследовано пробное поле спина V2 (нейтрино) на шварцшильдовом фоне [57—59].
Полное возмущение райсснер-нордстремовской черной дыры было впервые получено Дзерилли в 1974 г. [60]. Если через ?(°i и обозначить метрику и электромагнитное поле, соответствующие решений) Райсснера — Нордстрема, то возмущенные гравитационное и электромагнитное поля могут быть за-писаны в виде + Aliv и Fliv = ЯД + Ztiv- Система урав-
нений Эйнштейна — Максвелла, описывающая полные гравитационное и электромагнитное поля, дается тогда уравнениями
(&ар) = (^m-V Н~ ^iv)* (13)
[(-g)'laF^ly = 4n(-g)'ht, (14)
где
4v = (/0Vav - T B^FpaFpa). (15)
а Tvlv и /ц обозначают соответственно тензор энергии-импульса и электромагнитный ток, вызывающие возмущения.
1) Недавние результаты этого автора отражены в статьях [195]. — Прим. перев.
8. О гравитационно сколлапсировавших объектах
409
Пренебрегая членами, квадратичными и высшего порядка по гравитационным и электромагнитным возмущениям Ajxv и Z11V, Дзерилли смог свести весь анализ возмущений к интегрированию двух связанных систем дифференциальных уравнений второго порядка вида
ії+К- К . (ей. О] - («К- С)
- (О ^+[»! - п, (ей. О]
X
,7"" (а, Г) I = Sfm (®, (16)
ГГ К г) I=.
U">, г) J=.
(ш, О. (17)
где //т((о, г) и (со, г)—функции, определяющие фурье-об-разы радиальной и зависящей от времени частей соответственно электромагнитных и гравитационных возмущений. Индексы / и га относятся к векторным и тензорным сферическим гармоникам на двух сферах, использованных Дзерилли для определения угловой зависимости возмущений. Эти две системы связанных дифференциальных уравнений соответствуют двум различным четностям сферических гармоник; Sim и S^m — источники электрических и магнитных возмущений, a dr/dr* =grr. Численное интегрирование этих уравнений рассматривалось в работе [61]. Используя введенный Таубом [62] метод, основанный на вариационном принципе, Монкриф [63] в случае отсутствия источников и Вейнстейн [64] в общем случае смогли разделить систему уравнений (16).
Бозе [65] получил в аналитическом виде 12 спиновых коэффициентов Ньюмена — Пенроуза [66] для метрики Керра — Ньюмена. Используя этот математический результат в предельном случае а = 0, Ли с помощью спинорного формализма Ньюмена — Пенроуза дал полный анализ возмущений геометрии Райсснера — Нордстрема [67, 68] *). Ли нашел новый набор уравнений, определяющих радиальную и временную зависимости возмущений, эквивалентный уравнениям Дзерилли (16) и (17). Эти уравнения, в частности, пригодны для анализа процессов излучения, однако в отличие от уравнений Монкри-фа — Вейнстейна они не разделяются, и существуют трудности с их интегрированием.
Этот метод теории возмущений сделал возможным установление устойчивости райсснер-нордстремовской черной дыры относительно малых возмущений [63], а также исследование процесса поляризации вакуума сильными электромагнитными
l) В работе [68] дан явный вид источника, вызывающего возмущения.
410
Р. Руффини
полями в черных дырах (разд. 9) и введение двух новых физических явлений: гравитационно индуцированного электромагнитного излучения [69] и электромагнитно индуцированного гравитационного излучения [70, 71] (разд. 5).
