Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Важно отметить, что доказательство устойчивости черных дыр относительно малых возмущений есть необходимое условие, выполнение которого надо обеспечить, прежде чем начинать любой анализ их физических свойств; оно также является необходимым условием для превращения черных дыр в мыслимые с астрофизической точки зрения устойчивые конечные стадии гравитационного коллапса.
В последующих трех разделах мы суммируем некоторые результаты, которые ведут к выводу, что черные дыры могут быть астрофизически важными источниками энергии.
4. Орбиты пробных частиц в поле черных дыр
Движение пробной частицы массы \і и заряда е в фоновых гравитационном и электромагнитном полях с метрикой ^liv и электромагнитным потенциалом Aa описывается лагранжианом 190]
& Aa**. (21)
где точка означает обыкновенную производную по аффинному параметру Я, который связан с собственным временем т частицы соотношением т = Хц. Тогда для иа = ха имеем нормировочное условие
__________ ?оз«а«е = — ц2
») Относительно новых результатов по возмущениям решений уравнений Эйнштейна — Максвелла, описывающих черные дыры, см.» например, работы [195—ItJbJ и имеющиеся там ссылки. — Прим. перев.
8. О гравитационно сколлапсировавших объектах
413
и уравнение движения частицы
(22)
где T7P и Tpv — соответственно тензор электромагнитного ПОЛЯ и символы Кристоффеля для фоновой геометрии. Картер [40] показал, что переменные в соответствующих уравнениях Гамильтона — Якоби для движения пробных частиц разделяются, и задача сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений
a Ky E и Ф — постоянные движения для траектории частицы; .? и Ф обозначают соответственно энергию и угловой момент частицы в направлении ср, измеренные наблюдателем, покоящимся на бесконечности. По поводу интерпретации постоянной К см., например, работы Кристодулу и Руффини [91] и Хьюстона и др. [92] !).
Для получения точных траекторий частиц использовались два различных метода: метод эффективного потенциала [93, 94] и непосредстЁенное численное интегрирование уравнений (23). Следуя развитому в [93] подходу, определим эффективные потенциалы для радиального направления и направления
0 уравнениями
l) В случае метрик Шварцшильда и Райсснера — Нордстрема постоянная К совпадает с квадратом полного орбитального момента Pq + (pjsin 0)2 пробной частицы. Как недавно было показано де-Феличе [199], в случае метрики Керра эта постоянная даже на пространственной бесконечности отлична от квадрата полного орбитального момента пробной частицы. Несовпадение обусловлено дополнительными членами, возникающими вследствие неинерциаль-ного характера системы координат, использованной в (1). Отметим также, что используемая в данном разделе величина р2 совпадает с 2 из (I)1 т. е. р2 E= S = г2 + a2 cos2 0. — Прим. персе.
0 = р-2 д/0,
г = р“2 V#>
1 = — ар~2(аЕ sin20 — Ф) + р“2 (г2 + a2) A-1P, ф = - р"2 (аЕ - Ф sin~2e) + ар_2Д~1Л
(23а)
(236)
(23в)
(23г)
где
0 = 5 —COS2G [а2 (ц2 — .E2) + Ф? sin-20], Р = Е(г2 + а2) - Фа - eQr,
Я = Р2_Д(Ц2Г2 + /С))
S = K-(Ф — аЕ)2,
(24а)
(246)
(24в)
(24г)
р2г= -у/R = О, р20 = л/0 =O
(25а)
(256)
414
Р. Руффини
или просто условиями R = 0 и 0 = 0. Используя данные Картером уравнения, для эффективного потенциала в направлении
0 имеем
S - cos20 [a2(fx2 - E2) + Ф2 sin“20] = 0. (26)
Можно заключить, что если S = Oh частица при движении пересекает экваториальную плоскость, то движение остается
9
Рис. 2. Эффективный 0-потенциал для S = 0,01 и a = M (экстремальная керровская черная дыра). Угол 0, измеряемый в градусах от оси симметрии, указывает точки поворота траектории пробной частицы в направлении 0 (0 = 0). По вертикальной оси отложена энергия частицы в .единицах массы покоя частицы |х, измеренная наблюдателем на бесконечности По третьей оси отложены значения ф-компоненты углового момента частицы в единицах произведения ее массы покоя и массы черной дыры. За единственным исключением траекторий с Ф = 0 и с достаточно большими энергиями, пробные частицы с S > 0 не могут достичь полюса и ограничены максимальным углом 0.
Детали см. в [95]. '
экваториальным; если S > 0, то движение ограничено максимальным углом наклона к экваториальной плоскости, зависящим от углового момента и энергии пробной частицы. Частица может достичь оси симметрии, перпендикулярной экваториальной плоскости, только если Ф = 0 или S ^ — а2(|х2 — E2). График эффективного потенциала для некоторых значений S и значения а/М = 1 дан на рис. 2. Эффективный 0-потенциал является функцией только а и S и не зависит от заряда частицы
8. О гравитационно сколлапсировавших объектах
416
Ittepi 11
Рис. 3. Эффективные радиальные потенциалы для решений Е± (г), соответствующих положительному и отрицательному корням, для пробных частиц: а — с угловым моментом Ф/цМ = 2 вблизи шварцшильдовой черной дыры, б — с Ф/\хМ = —5 вблизи экстремальной керровской черной дыры с а = М. В шварцшильдовом случае имеем