Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
2. Проверьте унитарность амплитуды рассеяния до порядка е3, связав мнимую часть поправки к вершине (8.60) с соответствующим произведением амплитуды электрон-позитронного рассеяния второго порядка и вершины еу .
3. Покажите, что собственная масса, вычисленная из (8.35) с параметром обрезания Л таким, что Л С т, линейно растет с ростом Л и отвечает классической собственной энергии заряда, распределенного с радиусом а ~ 1/Л.
4. Закончите вычисление лэмбовского сдвига в порядке a(Za)4, добавив к (8.89) член из (8.83), отвечающий аномальному магнитному моменту. Проведите вычисления для s- и /7-СОСТОЯНИЙ.
5. Постройте амплитуду рассеяния фотона на фотоне порядка е4 и покажите, что она удовлетворяет калибровочной инвариантности и конечна.
6. Докажите теорему Фарри [88], согласно которой диаграмма в виде замкнутой петли с нечетным числом исходящих фотонных линий равна нулю. Из этой теоремы следует, что рассеяние света во внешнем поле (дельбрюков-ское рассеяние) в наинизшем порядке квадратично по напряженности поля.
7. Путем явного вычисления убедитесь, что во втором порядке Zi = Ег-Проведите обрезание фотонного пропагатора, чтобы сохранить калибровочную инвариантность.
8. Докажите (8.59).
9. Проверьте (8.76) и (8.78).
10. Найдите радиационные поправки порядка a In(q2jm2) и а 1п(?У?тт) к рассеянию электрона в кулоновском поле при больших энергиях и переданных импульсах,
ГЛАВА 9
УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА —ГОРДОНА
§ 41. Введение
Можно использовать метод функции распространения и развить соответствующую технику вычислений для процессов с участием частиц со спином 0. Мы попытаемся описать такие частицы скалярной волновой функцией q>(x), имеющей всего одну компоненту. Тем самым мы приходим к уравнению Клейна — Гордона для свободной частицы
(? + m2)qp(x) = 0. (9.1)
В гл. 1 это уравнение было отвергнуто, так как оказалось невозможным определить сохраняющуюся положительно-опре-деленную вероятность. Однако в результате дальнейшего рассмотрения первоначальные мотивы, заставившие нас отказаться от (9.1), исчезли. Поэтому мы вновь возвращаемся к этому уравнению, приняв фейнмановскую интерпретацию состояний с отрицательной энергией, движущихся назад во времени. Спин частицы несуществен для такой интерпретации, и мы убедимся в том, что она справедлива для частиц с нулевым спином, так же как и для электронов.
Аналогично тому, что было для электронов, мы придем к следующей картине: наряду, например, с я+-мезоном, который описывается решением уравнения Клейна — Гордона с положительной энергией, появляется также я_-мезон, интерпретируемый как я+-мезон с отрицательной энергией, движущийся назад во времени.
Теперь отвлечемся на некоторое время и .задумаемся над тем, к каким частицам в природе можно применять уравнение Клейна — Гордона. Стабильные элементарные частицы с нулевым спином неизвестны, однако я-мезоны и /(-мезоны являются почти стабильными кандидатами. Экспериментально обнаружено [89, 15], что они одновременно рождаются и уничтожаются в большом количестве, например, в следующих реакциях (р —¦ протдн, п — нейтрон, А0 — нейтральная лямбда-частица, л+ —
ВВЕДЕНИЕ
185
положительно заряженный я-мезон и т. д.):
рр—>¦ рпя+, л~ р —*¦ Л° + К0,
->р + р + л°, + р-+А° + л°, (9.2)
->р + А° + К+, -*5Г + я+.
Поэтому волновое уравнение для этих мезонов с нулевым спином должно учитывать возможные процессы рождения и аннигиляции. Нельзя проследить за мировыми линиями таких частиц во время процесса рассеяния, как это было возможно для электронов, взаимодействующих с фотонами. В частности, нельзя проследить за мировыми линиями заряженных л- и /С-ме-зонов даже в случае взаимодействия с фотонами, так как имеется вклад диаграмм типа изображенной на рис. 9.1.
Возможность рождения и уничтожения одиночных бес-спиновых частиц, подтверждаемая на опыте, приводит к тому, Рис. 9.1. Вклад в электромагнитную что теория взаимодействия та- структуру я-мезона.
ких частиц должна быть многочастичной. Лучше всего здесь подходит формализм квантовой теории поля, но опять, как и для взаимодействия электронов и фотонов, мы сможем понять многие явления и провести большое количество расчетов с помощью метода функции распространения, расширенного на случай мезонов, связанных с источником, которому отвечал бы добавочный член в правой части (9.1).
Если включить слабые взаимодействия, то мезоны с нулевым спином уничтожаются [89, 15] также в реакциях, например, следующего типа (ц — мю-мезон, v — нейтрино):
Я+ -> Ji+ + V,
/(+-*я+ + я+ + я~1 (9.3)
-> Л° + Ц + + V.
Вследствие того, что взаимодействие, отвечающее за подобные слабые распады (9.3), мало, заряженные я- и /(-мезоны имеют очень большое время жизни, т ~ 10-8 сек, которое значительно превосходит естественную единицу времени ti/mc2 ¦< 10-23 сек, образованную из величин S, с и масс я- или /(-мезона. Поэтому в первом порядке теории возмущений по степеням константы слабого взаимодействия можно пренебречь распадами (9.3) и конечным временем жизни т ~ 10-8 сек при рассмотрении
