Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Как впервые показал Вайскопф [76], диаграмма рождения виртуальной пары с показанным на рис. 8.7, а упорядочением во времени компенсирует ведущую расходимость диаграммы, приведенной на рис. 8.7, б.
Хотя формально поправка к массе является бесконечной, однако для значений параметра обрезания А <С те2я/3а ~ ~ 10100 т она мала. Заметим, что масса Вселенной оценивается величиной ~ 1080 т [77].
Систематический способ проведения процедуры перенормировки массы состоит в следующем. Надо переписать уравнение
(а) (б)
Рис. 8.7. Различные упорядочения во времени для собственно-энергетической части второго порядка.
168
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ К МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. 8
Дирака в терминах физической массы и рассматривать разность между голой, или затравочной, массой и физической массой как дополнительное взаимодействие. Таким образом, запишем
(tV — mph) i|) = eAty + (m — trip h) ^ = eAty — (8.45)
Дополнительному взаимодействию отвечает диаграмма на рис. 8.8. Этот член сокращается с первым членом в (8.40), и при
p->mph пропагатор приводится к виду, щ—$т содержащему свободный пропагатор в
----* "X * качестве сомножителя.
Рис. 8.8. Массовый контр- в дальнейшем мы всегда будем пред-член. полагать, что перенормировка массы уже
произведена, т. е. считать включенной диаграмму, изображенную на рис. 8.8. Обозначение т мы сохраним за физической массой электрона.
Остается еще поправка к пропагатору, заключенная в Z2 и в функции С(р), выбранной так, что при р = т функция С(р) = 0. В частности, при р « т пропагатор имеет вид
' г2г (8.46)
р — т р — т '
т. е. отличается фактором Z2, который в этом смысле аналогичен фактору Z3 в фотонном пропагаторе. В данном случае Z2 также можно включить в заряд е0, входящий в обе вершины на концах электронной линии; однако в этом нет необходимости, поскольку, как мы увидим, поправки к самим вершинам сокращаются с Z2. Вряд ли можно ожидать, что величина Z2 имеет глубокое физическое содержание, так как согласно (8.43) она зависит от массы фотона.
Требуется определенная осторожность, чтобы не внести поправки во внешние линии дважды; с подобной ситуацией мы уже сталкивались в случае фотонов. Пропагатор есть величина билинейная по амплитудам поля, это видно, например, из выражения (6.48). Однако внешняя линия соответствует амплитуде поля, поэтому она перенормируется множителем Таким
образом, если вычисления проведены с учетом всех диаграмм, дающих поправки к внешним линиям, результат следует разделить на в степени, равной числу внешних электронных
линий.
Нерелятивистская теория возмущений дает хорошо известный пример аналогичного явления, а именно
= VzTфп + Z ^Jr фт, (8-47)
тфп п т
ПОПРАВКИ К ВЕРШИНЕ
169
где
1
I
тф
\ (фт. Уфп)
ЛЕп-Е°тГ
(8.48)
Здесь также Z находится, по сути дела, из функции Грина, а волновая функция перенормируется величиной VZ .
§ 39. Поправки к вершине
Нам осталось рассмотреть только диаграмму, изображенную на рис. 8.4,6, которая отвечает поправке за счет обмена фотоном между электронными концами вершины уд- Такую диаграмму называют вершинной частью второго порядка. Чтобы вычислить ее вклад в физические процессы, рассмотрим интеграл
Лд (р', р) = (~ ie? jj
(— О
dlk
(2itУ k2-K2 + ie
¦Yv-
¦ k — m + ie
XYn
p — k — tn + ie
X
Yv, (8.49)
где p' означает импульс электрона, a —p — импульс физического позитрона, рожденного виртуальным фотоном, как показано на рис. 8.4,6. То же самое выражение (8.49) отвечает и вершинной радиационной поправке к изображенному на рис. 8.9 рассеянию электрона на внешнем потенциале. В этом случае р' вновь является импульсом конечного электрона, однако р теперь представляет собой импульс начального электрона. Таким образом, одна и та же функция (8.49) описывает поправки к различным физическим процессам.
Амплитуда (8.49) расходится, поскольку знаменатель подынтегрального выражения содержит k лишь в четвертой степени. Кроме того, мы вновь сталкиваемся с инфракрасной расходимостью и поэтому приписываем фотону малую массу, чтобы избавиться от вклада мягких фотонов. Рассмотрим Лv(p', р) при
Рис. 8.9. поправка
Вершинная к рассея-
нию во внешнем электромагнитном поле.
’ = р
о.
считая бесконечную часть выделенной. Начальный и конечный электроны будем считать свободными, т. е. р — т, р' = т. В этом случае
“(р)Лц(р, р) и (р) = (Zi_i — 1)й(р)уцИ(р),
(8.50)
170
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ к МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. 8
где Zj является константой, зависящей от масс т2 — р2, К2 и от обрезания, которое необходимо сделать, чтобы эта константа была конечной. Соотношение (8.50) является самым общим, поскольку единственный входящий в него 4-вектор pv есть то же самое, что величина myv, стоящая в обкладках (sandwiched) из спиноров й{р) и и(р).
