Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно второму порядку старой теории возмущений сдвиг энергии, обусловленный тем, что электрон в состоянии п испустит и вновь поглотит фотон, равен
ftmln
.< 2 (* d3k V1 (п\а-ге1к'т \ 1п)(т\а-ге~‘к‘т\п) to осч
!» J WZ, ---------E~~-'k~Em-----------’ (8‘85)
а е:
где суммирование производится по поперечным поляризациям фотона и по всем электронным состояниям. Выберем теперь femin. удовлетворяющим условию
(Za)2 m <С kmin <С (Za) m
(например, положим &min « (ZaYkm) и воспользуемся диполь-ным приближением, которое может показаться до некоторой степени сомнительным. Электронные состояния являются нерелятивистскими, поэтому а можно заменить на v = p/m. Тогда можно провести интегрирование по к, которое дает
— kmln (п I V2 I п) +
+ Z
(8.86)
Теперь для этой части вычислений необходимо произвести перенормировку массы. Поскольку электромагнитная масса электрона 6т уже содержится в его экспериментальной массе т, в гамильтониане появится массовый контрчлен вида
-р2 _^ I (р-удм.
2 (от —бот) 2т 2 \т)
Он приводит к сдвигу энергии
6Еп = j Ш (п | V21 п),
который имеет ту же структуру, что и первый член в (8.86). Поэтому последний включается в перенормировку массы. Пользуясь тем, что > Еп — Ет, получаем нерелятивистскую часть лэмбовского сдвига в виде
д?"'=з5у? <?"¦-?») in
(п\р\т)?. (8.87)
182
ПОПРАВКИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ К МАТРИЦЕ РАССЕЯНИЯ (ГЛ. 8
Последнее равенство служит определением величины Е, которая по порядку величины ожидается ~ (Za)2m. Теперь суммирование по состояниям проводится с помощью следующего коммутационного соотношения:
? (Ет - Еп) (п | р \т)2 = 1<п | [[р, Н], р] | п).
т
Оно дает
АЕ< = In (п |W | п> = In ^ | г|)д/т (0) |2. (8.88)
3 nrrr Е 3 тг Е
Объединяя найденное выражение с (8.84), получаем сдвиг энергии s-состояний водородоподобного атома с точностью порядка a(Za)4:
АЕ = 4а_(?а)1 fin _2L + Л _ I'j т. (8.89)
п Зкп3 \ 2Е 24 5/
Величина Ё была найдена Бете и др. [85] и в соответствии с на-
шими ожиданиями оказалась равной 8,9 а2т для водорода. Для получения полного лэмбовского сдвига с точностью порядка
a(Za)4 к (8.89) следует еще добавить вклад аномального магнитного момента из (8.83).
Неудивительно, если читатель окажется неудовлетворенным проведенным рассмотрением, в особенности использованием ди-польного приближения, и тем, как мы обошлись с kmln. Любознательному читателю мы рекомендуем ознакомиться с недавней работой Эриксена и Р1енни [86], в которой фотоны не разделяются на мягкие и жесткие.
В этой главе было показано, как расширить на одну степень по а сверх низшего порядка правила написания элементов S-матрицы. Мы встретились с трудностями, связанными с появлением расходящихся выражений, и преодолели эти трудности, показав, что имеется хорошо определенный способ отделения расходящихся выражений и включения их в константы, которые перенормируют заряд и массу электрона, а также волновые функции, описывающие распространение электрона и фотона. Имеются ясные физические основания для проведения перенормировок.
К параметру массы в уравнении Дирака должна быть добавлена электромагнитная масса, поскольку она уже содержится в массе, измеряемой на опыте. Необходимо также перенормировать заряд, чтобы учесть эффект статической поляризации вакуума. Наконец, требуется перенормировать волновую функцию аналогично тому, как это делается в обычной нерелятивистской теории возмущений (см. (8.47) и (8.48)). Тем самым учитывается поправка на амплитуду наблюдения электрона в сопровождении флуктуаций, вызванных взаимодействием.
ЗАДАЧИ
183
Перенормировка является довольно тонкой операцией, так как величины Z\, Z2, Z3 и 6m, к несчастью, расходятся. Однако, как мы видим, величины физических эффектов оказываются в итоге конечными и независящими от обрезания. Более того, они согласуются с опытом, как, например, в случае лэмбовского сдвига и аномального магнитного момента электрона [41, 81].
В этом месте естественно спросить, какие новые проблемы возникнут при переходе к еще более высоким порядкам по а. Оказывается, что никаких, за исключением необходимости проводить дополнительную вычислительную работу. Мы уже ввели все необходимые перенормировки. Изложенные в этой главе идеи и методы достаточны для того, чтобы, вычисляя S-матрицу в любом (конечном) порядке по а, получать единственные, конечные и независящие от обрезания амплитуды любых физических процессов (см. [50]).
ЗАДАЧИ
1. Проверьте унитарность амплитуды электрон-протонного рассеяния вплоть до порядка е*. Для этого найдите абсорбтивную часть (7.51), которая отвечает промежуточным электрону и протону на массовой поверхности, и покажите с помощью (8.33), что она равна соответствующему произведению амплитуд второго порядка. Покажите также, что диаграммы на рис. 7.6 и 7.7 не приводят ни к каким другим абсорбтивным частям.
