Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Н\а"(х)\ < (а {х))2. (48.8)
В этом случае
а(х) = ctq(x) = ±р(х). (48.9)
Подставляя это выражение в неравенство (48.8), приводим его к виду
h\dp(x)/dx\ < \р(х)\2, (48.10)
что с учетом (48.4) дает
ph\dV(x)/dx\ \р(х)\3. (48.11)
Отсюда видно, что приближение (48.9) выполняется тем лучше, чем больше классический импульс частицы и чем плавнее изменяется потенциальная энергия.
Для его (х) из (48.9) получаем
сто(х) = ± Jр(х) dx + Со, (48.12)
где Со — константа интегрирования. Поскольку в этом приближении фазовая функция не зависит от h, можно сказать, что оно соответствует переходу к пределу h —> 0, т. е. к классическому пределу.
Следующая компонента фазовой функции легко находится из (48.7) и (48.12):
Cl (ж) = 111 \р(х)\ + Cl, (48.13)
где С1 — константа интегрирования.
224
Раздел 3
Приближение, в котором учитываются члены не выше первого порядка по h в разложении фазовой функции, называется квазиклассическим. Подставляя (48.12) и (48.13) в (48.5), получаем волновую функцию (48.2) в квазиклассическом приближении:
ФЫ= 7шГхр Шф)“х)+7шГр H/pW4
(48.14)
где А\ и А2 — произвольные комплексные константы.
Найденное решение справедливо только в тех областях, где выполняется неравенство (48.11). В свою очередь, это неравенство во всяком случае не выполняется в окрестностях тех точек, в которых классический импульс частицы обращается в нуль:
р(х) = [2/х(Д - V(x))} Ъ = 0, (48.15)
т. е. где полная энергия равняется потенциальной. Такие точки траектории частицы в классической механике называются точками поворота. Они отделяют область, доступную для классического движения, от области, где импульс р(х) имеет мнимые значения и классическое движение невозможно. В этой последней области показатели экспонент квазиклассической волновой функции (48.14) имеют вещественные значения.
Для определения констант интегрирования А\ и А2 надо произвести сшивание всех ветвей функции ф(х), разделенных точками поворота. Поэтому необходимо иметь волновую функцию во всех окрестностях точек поворота. Если эти окрестности невелики, потенциальную энергию V(x) можно аппроксимировать линейной функцией и найти точное решение уравнения Шредингера, выражающееся через функции Эйри.
Однако в математике разработан и другой метод решения уравнения Шредингера в случае, когда h может считаться малым параметром. При этом отпадает необходимость по отдельности решать уравнение в окрестностях точек поворота и вне их, а затем сшивать полученные функции. Переходим к изложению этого метода.
Рассмотрим уравнение
у"(х) + А г(х)у(х) = 0 (48.16)
при больших положительных значениях параметра А. Пусть функция г (х) на некотором интервале может быть представлена в виде
r(x) = (х — а)1г(х),
(48.17)
Лекция 13
225
где I ^ —2, а г(х) принимает либо только положительные, либо только отрицательные значения и имеет непрерывную вторую производную. Тогда при Л —> +оо решение уравнения (48.16) можно приближенно представить в виде1
у(х) =
С (х)
'AJ„(€(x)) + BJ-v(?(x)) при г(х) ^ О,
VMr(x)\ + DK„(?(x)) при г(х) < О,
(48.18)
где А, В, С, D — произвольные комплексные константы,
dr]
v =
(48.19)
Jv[z) — цилиндрическая функция Бесселя первого рода, Iv(z) — функция Бесселя мнимого аргумента, Kv(z) — функция Макдональда.
Применительно к нашему уравнению (48.1) имеем
А=-^ г(х) =р2(х) = 2ц(Е-V{x)), hz
=
X
J Ш\
dr]
(48.20)
(48.21)
Пусть х = а есть точка поворота:
Е = V(a), V\a) ф 0. (48.22)
В окрестности этой точки функция г (х) имеет вид (48.17) с I = 1, чему
соответствует v =
3'
Применим рассмотренный метод решения уравнения Шредингера для нахождения волновой функции связанного стационарного состояния частицы, движущейся с энергией Е в одномерной потенциальной яме V(x) (рис. 12).
К*)' © © ©
Е
ж0
х0
X
Рис. 12. Точки поворота при движении в одномерной потенциальной яме.
^м.: Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. — М.: Наука, 1978, § 15.
226
Раздел 3
Поскольку в этом случае имеются две точки поворота х\ ИЖ2, разделим интервал (х\, х2) на два интервала точкой хо так, чтобы в каждом интервале было по одной точке поворота и можно было представить функцию г(х) в виде (48.17). Конечно, окончательный результат не должен зависеть от того, где именно между точками поворота находится точка хо, лишь бы она не лежала слишком близко от них. Таким образом, получаем четыре интервала: (I) —оо < х < Xi, (п) Х\ < х < Хо, (III) Хо < х < Х2, (IV) Х2 ^ X < ОО.
Запишем решение (48.18) для каждой из этих областей и найдем константы путем сшивания полученных функций на границах.
Для области (I) имеем
а = х 1, г(х) < 0. (48.23)
Используя (48.18), находим
Мх) = {Шгн{ск/Шх)) + ОК1/зШ))- (48.24)
Рассмотрим асимптотику этой функции при х —> — оо. Для
этого воспользуемся известными асимптотиками функций Iv(z) и Kv(z):
Ш » (48.25)
Л/27TZ
Kv(z) « у * при z —> оо. (48.26)
Поскольку при х —> —оо имеем согласно (48.21) ?(ж) —> +оо, для обеспечения квадратичной интегрируемости функции (х) надо положить
С = 0. (48.27)
