Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
246
Раздел 3
ной системы:
Л°) _ Л°)
z№( (о)А ^
(п\р\т) = —— ^ >5пт +
пт _
Ьп &г)
Т/ Т/ / Я(0) - Я(0) Л0) Л0) '
УпкУкт ( Рп г к рп ~ рт х х (50 41)
^^ &к &т \ ?п &к ?п ?•
к
где множитель Zo(/3)/Z(/3) вычисляется согласно (50.39).
В заключение получим критерий применимости теории возмущений. Для этого, используя (50.34), найдем поправку первого
(0)
порядка к диагональному элементу p)i матрицы плотности невозмущенной системы:
, х P^-PVnnP^ ,СП(1„Ч
(п\р\п) ~ ---------------------------------—-77Т7- (50-42)
l-PT.Vnnftf'
п
В качестве условия применимости теории возмущений можно
ОЛТ (0) (0)
взять условие малости поправки — pVnnPn по сравнению с руп , т. е.
\Vnn\ < кТ. (50.43)
Следовательно, средняя энергия возмущения для каждого чистого стационарного состояния невозмущенной системы должна быть малой по сравнению со средней кинетической энергией теплового движения.
Упражнения к лекции 14
14.1. Найти в низшем неисчезающем порядке теории возмущений поправки к энергетическим уровням линейного гармонического осциллятора, обусловленные возмущением вида
а) V = ахА, б) V = ах3,
где а — некоторая константа.
Получить условие малости поправок и сравнить его с классическим условием малости ангармоничности колебаний.
14.2. Рассчитать расщепление энергетического уровня атома водорода с п = 2, обусловленное неточечностью протона. Протон считать равномерно заряженным шаром со среднеквадратичным радиусом 0,8 • 10“13 см.
Лекция 14
247
14.3. Рассчитать в первом порядке теории возмущений энергию связи основного состояния атома гелия, считая возмущением взаимодействие электронов друг с другом. Сравнить полученный результат с (46.30).
14.4. Показать, пользуясь теорией возмущений, что ангармонические добавки вида AV = аг4 к потенциалу трехмерного изотропного гармонического осциллятора снимают вырождение уровней по орбитальному моменту.
14.5. Найти в первом порядке теории возмущений энергии и волновые функции трех низших стационарных состояний системы, состоящей из двух одинаковых линейных гармонических осцилляторов, потенциальная энергия взаимодействия которых
V = axix2
считается малой. Здесь а — некоторая константа, х\ и Х2 — координаты осцилляторов. Сравнить полученный результат с результатом упражнения 3.9.
14.6. Взаимодействие электрона и протона, приводящее к сверхтонкому расщеплению низшего энергетического уровня атома водорода, можно представить в виде
V = a(sesp),
где se, sр — операторы спина электрона и протона, а — некоторая константа. Показать, что в этом случае полный спин является интегралом движения. Определить значение константы а, зная, что длина волны радиоизлучения, испускаемого при переходе между уровнями сверхтонкой структуры низшего энергетического уровня атома водорода, равна 21 см, а триплетный уровень лежит выше синглетного.
14.7. Согласно одночастичной модели оболочек потенциальная энергия нуклона в ядре может быть представлена в виде
V = %(г) + а(Щ,
где 1, s — операторы орбитального и спинового моментов нуклона, а — некоторый параметр. Определить значение параметра а, если известно, что уровень Ы5/2 лежит на 5 МэВ ниже уровня ld^/2-
248
Раздел 3
ЛЕКЦИЯ 15 §51. Некоторые применения теории возмущений в задачах атомной физики
Мы рассмотрим ряд простейших задач из области применения квантовой механики в теории атома; все они давно уже стали «классическими», и физические результаты их решения обычно излагаются в курсе общей физики. Наша цель заключается в том, чтобы получить эти результаты в рамках последовательного квантово-механического подхода, используя методы, знакомые по предыдущим разделам. В данном параграфе мы займемся свойствами индивидуального атома, а в следующем перебросим «мост» между квантовой механикой отдельного атома и описанием макроскопических свойств вещества.
Мы будем опираться на представление о том, что атомный электрон находится на стационарной квантовой орбите в сферически-симметричном электростатическом поле. Здесь надо видеть два случая, которые существенно отличаются один от другого.
Первый — это атом водорода и водородоподобные ионы. Закон взаимодействия электрона с силовым центром здесь хорошо известен, с точностью до эффектов конечных размеров ядра и релятивистских эффектов (которые при не очень больших Z малы и учитываются по теории возмущений). Это — закон Кулона V(r) = —Ze2/г. Отличительной особенностью такого взаимодействия является, как мы знаем, «случайное» вырождение уровней частицы по I; оказывается, что оно особым образом проявляется при взаимодействии атома с внешними полями.
К другому случаю относятся задачи, где рассматривается движение электрона в сферически-симметричном поле некуло-новского типа V(г) ^ const/г; такой потенциал передает суммарный эффект взаимодействия электрона с ядром и другими электронами атома. В отличие от задач для атома водорода, имеющих строгую теоретическую постановку, это — модельные задачи, так как само представление о среднем поле в атоме носит модельный, приближенный характер; конкретная форма потенциала V(г) зависит от варианта используемой модели. Тем не менее, такая одночастичная модель играет в атомной физике очень важную роль. Применяя ее, мы будем учитывать, что в поле некулоновского типа «случайное» вырождение по I отсутствует. Из атомной физики
