Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
§ 45. Спиновая матрица плотности
В лекции 7 было показано, как описывается состояние физической системы с помощью матрицы плотности. Частным случаем такого подхода является использование так называемой спиновой матрицы плотности, которая является матрицей по спиновым переменным или, вообще говоря, по переменным моментов количества движения системы. Ниже мы познакомимся с основными положениями этой теории.
1. Случай чистого состояния
Подобно тому как это было сделано в § 28, начнем со случая чистого спинового состояния. Пусть (sms\x) — спиновая волновая функция частицы (системы) со спином s. Спиновая матрица плотности такого состояния есть матрица размерности (2s + + l)x(2s + l), а ее элементы вычисляются согласно (28.3) по
формуле (ms\p\m's) = {sms\x){x\sm's). (45.1)
В случае s = ^ спиновая матрица плотности есть матрица второго порядка. Построим ее для нескольких конкретных случаев чистого спинового состояния, которые мы по другому поводу уже рассматривали раньше. Пусть сначала проекция спина частицы
на ось z равна Такое состояние описывается волновой функцией (40.2), и, следовательно, матрица плотности имеет вид
(45.2)
Лекция 12
205
Если проекция спина равна ^ по отношению к оси х, то аналогично предыдущему, используя (40.29), получаем
Р=(} ?V (45.3)
Наконец, если спин частицы направлен по вектору п, ориентированному произвольно, то, подставляя в (45.1) волновую функцию (40.26), получаем
х ( cos sin — е Z(pJ =
(45.4)
sin ^ cos 2 0
,sm^cos^eb^ sin -
здесь в и ср — это полярный и азимутальный углы вектора п. Очевидно, (45.2) и (45.3) есть частные случаи этого выражения. Легко проверить, что матрица плотности (45.4) удовлетворяет всем общим требованиям (28.6)-(28.8) и, кроме того, условию (29.25), которому должна удовлетворять матрица плотности чистого состояния.
2. Случай смешанного состояния
Построим спиновую матрицу плотности для специального случая, рассмотренного в п. 4 § 41. Волновая функция Ф^т(г, а), даваемая соотношением (41.31), описывает одновременно и движение частицы в пространстве, и ее спиновое состояние. Мы можем отнести этот случай к случаю, рассмотренному в § 30, когда волновая функция системы, состоящей из двух подсистем, не разбивается на произведение волновых функций этих подсистем. Роль обобщенной координаты первой подсистемы играет пространственная координата частицы г, роль обобщенной координаты ^2 второй подсистемы — спиновая переменная а. Согласно общему правилу (30.12) спиновая матрица плотности состояния, описываемого волновой функцией (41.31), строится следующим образом:
НрК) = J Vijm(г, сг)Ф^т(г, <j')d3r. (45.5)
206
Раздел 2
Учитывая ортонормированность пространственных волновых функций <pijmi(г), заметим, что спиновая матрица плотности (45.5) диагональна. Пользуясь (41.36) и (41.37), получим явные выражения спиновой матрицы плотности для соответствующих состояний:
1,3=1+ 2,т
{I + 1/2 + т
2Z + 1 i 0
(45.6)
1,3=1 — 2
// + 1/2 —ж 2/ + 1
i 0
0 ^
I + 1/2 + т 2/ + 1 /
(45.7)
Эти матрицы не удовлетворяют условию (29.25) р2 = р (исключение — случай j = I + i, , = ±j). Таким образом, состояние с
определенным орбитальным I и полным j моментами частицы, а также с определенным значением проекции полного момента т на выделенную ось не является, вообще говоря, чистым спиновым состоянием.
3. Параметризация спиновой матрицы плотности
Выше мы построили спиновую матрицу плотности для системы со спином i в некоторых конкретных случаях. Как выглядит такая матрица плотности
в самом общем случае? Воспользуемся тем (см. упр. 10.9), что любую матрицу второго порядка можно разложить по четырем линейно независимым матрицам: I (единичная матрица), Эх, Эу и Эz (три матрицы Паули),
р — а{1 + Рх&х + РуО'у + Pz&z)-
(45.9)
Лекция 12
207
Из условия Spp = 1 (соотношения (28.8), (29.3)) получаем а =
Каков физический смысл вектора Р и какие ограничения на его величину накладывают общие условия, предъявляемые к матрице плотности? Для ответа на этот вопрос вычислим среднее значение вектора спина: частицы (системы) в состоянии, описываемом матрицей плотности (45.10):
Отсюда видно, что вектор Р указывает среднее направление спина частицы, а его величина Р = |Р| есть степень поляризации частицы. Из общих соображений ясно, что степень поляризации не может выходить за пределы
Покажем, что только при этом условии матрица плотности (45.10) удовлетворяет общему требованию (29.23). Действительно,
Условию Sp р2 < 1 отвечает неравенство (45.12).
Из (45.13) видно, что матрица плотности состояния, в котором степень поляризации частиц максимальна (Р = 1), удовлетворяет соотношению р2 = р, которое есть критерий того, что состояние является чистым (см. (28.9)). Если задать направление вектора поляризации Р углами в и ср, то при |Р| = 1 из (45.10) получаем
= i. Тогда, вводя вектор Р с компонентами Рх, Ру, Pz, запишем спиновую матрицу плотности р в виде
(45.10)
в = Sp{ps} = ± Sp{ps} = ip.
(45.11)
(45.12)
(45.13)
и соответственно
(1 + P2).
(45.14)
(45.15)
что, естественно, совпадает с (45.4).
