Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
(smz\x)\smz(a)) =^ап
| smz{a)). (44.5)
В представлении, где а = sz, это есть разложение по столбцам (39.5):
Xs = Oi-3
( 1 0
Vo'
+ a-(s-l)
/0\ 1
Vo/
+ .. .+o;s
/0
о
Vi'
( a~s \ a-(s-i)
V as J
(44.6)
202
Раздел 2
Коэффициенты разложения amz определяют вероятности различных значений mz и, следовательно, относительные интенсивности пучков на выходе из прибора Штерна-Герлаха:
W(mz) = \amf. (44.7)
Разыграем несколько конкретных вариантов опыта Штерна-Герлаха («мысленный эксперимент»). Для простоты возьмем пучок
частиц со спином s = i. В этом случае на выходе из прибора
имеется два пучка. В первом (его относительную интенсивность обозначим VK+) спины всех частиц направлены по оси г, во втором (соответствующая интенсивность W-) — против оси г. Наша задача состоит в том, чтобы найти W+ и W- в зависимости от свойств падающего пучка.
Вариант 1. Начнем с простейшего случая, когда все частицы входного пучка находятся в состоянии 11/2, mz = 1/2), т. е. проекция спина любой частицы на ось z с достоверностью равна mz = 1/2. Очевидно, в этом случае на выходе из прибора будет только один пучок: W+ = 100%, W- = 0.
Вариант 2.50% частиц падающего пучка находятся в состоянии 11/2, mz = 1/2) и 50% частиц — в состоянии 11/2, mz = = —1/2). И в этом случае результат очевиден: VF+ = W- = 50 %.
Вариант 3. Все 100 % частиц падающего пучка находятся в состоянии 11/2, тх = 1/2), т. е. спины всех частиц направлены по оси х. По условию наш прибор «не умеет» различать частицы по тому, как ориентированы их спины относительно оси х; он «знает» только один признак: mz = +1/2 или mz = —1/2. Значит, надо представить волновую функцию 11/2, тх = 1/2) в виде суперпозиции соответствующих базисных функций 11/2, mz = = 1/2) и 11/2, mz = —1/2). В §40 мы эту задачу уже решали. По формуле (40.29) имеем:
11/2, тх = 1/2) =
= 2“1/2|1/2, mz = 1/2) + 2“1/2|1/2, mz = -1/2). (44.8)
Отсюда согласно (44.7) получаем VF+ = W- = 50 %.
Вариант 4. Спины всех частиц падающего пучка направлены вдоль вектора n = {sin#cos(^, sinOsmcp, cos0}, т.е. все частицы находятся в состоянии 11/2, шп = 1/2), углы в и ip — любые. Такой вариант есть просто обобщение предыдущего случая, и способ решения здесь тот же: с помощью (40.26) разложим
Лекция 12
203
волновую функцию 11/2, тп = 1/2) по базисным
11/2, ш„ = 1/2) =
= cos(#/2)|l/2, mz = 1/2) + ег{р sin(#/2)|l/2, mz = —1/2)
(44.9)
и отсюда согласно (44.7) получим
W+ = cos2 (0/2), W-= sin2(6»/2). (44.10)
Обратим внимание на то, что результаты нашего мысленного эксперимента в вариантах 2 и 3 совпали. Что это значит? Что совпадают начальные условия 2 и 3, или же что возможности проделанного эксперимента недостаточны для обнаружения различия между этими двумя начальными условиями?
Размышления показывают, что правилен второй ответ, и можно предложить другой эксперимент, чувствительный к различию между начальными условиями 2 и 3. Для этого, не меняя начальных условий, заменим наш прибор Штерна-Герлаха другим, у которого «ось прибора» направлена не по оси г, а по оси х (образно говоря, повернем прибор на 90° вокруг оси у). Частицы, попадающие в этот новый прибор, тоже всегда направляются им по одному из двух характерных для него направлений, но здесь сортировка частиц производится уже по другому признаку: тх =
= i или тх = — Обозначим соответствующие относительные
интенсивности W+ и W'_. Найдем их значения в вариантах 2 и 3.
Сразу видно, что в варианте 3 новый прибор направляет все частицы по одному направлению: W+ = 100%, Wf_ = 0. Обратимся к варианту 2. Каждая из частиц падающего пучка, находящаяся в состоянии 11/2, mz = 1/2), имеет одинаковую вероятность выйти из прибора по направлению, соответствующему mz = 1/2, и по направлению, соответствующему тх = = —1/2. То же справедливо для падающих частиц, находящихся в состоянии 11/2, mz = —1/2). По условию между частицами, находящимися в состоянии 11/2, mz = 1/2) и в состоянии 11/2, mz = —1/2), нет никакой корреляции. Поэтому получаем W+ = W'_ = 50 %. Легко убедиться в том, что результат VJ/+ = W- =50% сохранится в варианте 2 при любой другой ориентации оси прибора. Таким образом, начальные условия 2 характеризуют неполяризованное состояние частиц во входном пучке; мы не можем указать в этом случае никакого выделенного направления в пространстве по отношению к спиновым свойствам рассматриваемой системы.
204
Раздел 2
Итак, использование нескольких приборов Штерна-Герла-ха с направленными по-разному осями показывает, что начальные условия в вариантах 2 и 3 различны. Это различие имеет очень глубокий характер. В варианте 3 состояние пучка на входе в прибор характеризуется некоторой определенной волновой функцией. Неважно, что в разных представлениях ее можно записать по-разному; мы подчеркиваем другое: в варианте 3 состояние каждой частицы на входе в прибор характеризуется одним, вполне определенным вектором состояния, здесь это 11/2, тх = = 1/2). В варианте 2 ситуация другая. Здесь начальные условия заданы так, что невозможно указать никакой одной волновой функции, которая описывала бы состояние всех частиц, попадающих в прибор; какого-либо определенного, единственного вектора начального состояния в варианте 2 нет.
