Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
\pi, Lk} ф 0 при г ф к, \pi, L2] ф 0
(см. упражнение 1.7).
Следовательно, не существует совместного распределения Е, р и L или Е, р и L2. Наоборот, для Е, L2 и Li существует общий полный набор собственных состояний, но они не являются собственными состояниями оператора импульса р. Таким образом, существует несколько различных полных наборов собственных функций и обобщенных собственных функций гамильтониана, описывающего свободное движение частицы: а) Е, р, б) Е, pz, Lz и т.д.
Начнем с нахождения общих собственных функций Но и р. Эти функции Фе,р(г) должны одновременно удовлетворять следующим уравнениям:
-©V2^p(r) = (16-3>
-ШУфЕ, р(г) = рфЕ,р(г), (16.4)
где Е и р = {//,.. ру. р.) — точки спектров операторов энергии и импульса.
Решение уравнения (16.4) согласно (15.6) есть
Фе, р(г) = (27ГЙ,)_3/2ехр(|рг). (16.5)
Лекция 4
65
Легко проверить, что эта функция удовлетворяет также уравнению (16.3), если положить
Е = р2/2/л. (16.6)
Следовательно, общее решение уравнений (16.3) и (16.4) существует при любом значении р и дается формулой (16.5). Соответствующее значение энергии Е однозначно определяется импульсом р по формуле (16.6), а поэтому энергия и импульс при свободном движении не являются независимыми величинами. В § 4 было введено понятие полного набора физических величин. Мы видим, что при свободном движении частицы одним из возможных полных наборов является совокупность трех компонент импульса р = {рХ1 ру, pz}. В дальнейшем индекс Е в формуле (16.5) будем опускать, поскольку он является лишним.
Итак, уравнения (16.3) и (16.4) имеют решение в виде функции (16.5), которая не является квадратично интегрируемой. Дискретный спектр операторов Но и р пуст, и не существует ни одного состояния свободного движения, в котором энергия и импульс имели бы определенные значения. Другими словами, стационарных состояний свободного движения нет. Подставляя (16.5) в (9.4), получаем решение временного уравнения Шредингера (6.1) в виде
Фр(г, t) = фр(г)е ьт = (27ГЙ)_3/2ехр(|(рг - Et)). (16.7)
Если ввести обозначения
k=|, *=§, (16.8)
то (16.7) примет вид
Фр(г, t) = Сехр(г(кг — uot)). (16.9)
Такая функция широко используется в классической физике для описания монохроматической плоской волны с частотой и, распространяющейся в направлении волнового вектора к. По аналогии функция (16.7), соответствующая движению свободной частицы, называется плоской волной, а величины к и со называются волновым вектором и частотой этой плоской волны. Соотношения (16.8), устанавливающие связь между волновыми и корпускулярными характеристиками частицы, называются соотношениями де Бройля.
66
Раздел 1
Теперь рассмотрим задачу о свободном движении частицы в той же постановке, в которой мы рассмотрели в § 13 движение квантового осциллятора. Для этого необходимо задать волновую функцию частицы в начальный момент времени, а дальнейшая эволюция состояния определяется временным уравнением Шредингера (6.1). Для простоты рассмотрим одномерное движение вдоль оси х с начальным условием
*(z' ‘=0) = tsti-КМ (16Л0)
Согласно (13.1) и (13.4) средние значения и дисперсии координаты и импульса в этом состоянии есть
Х = Х0, Р = Ро, (16.11)
h2 ft2
Ас = ^, (16Л2)
Для нахождения функции ф(х, t) при t > 0 воспользуемся
методом функции Грина, изложенным в § 10. В нашем случае
согласно (16.6)
а функция Грина (10.10) принимает вид
/2
ФР{х)ф*р(х,)ехр(-||^) dp,
где согласно (15.6)
фр(х) = (2тгН)~1^2 ехр^рх^ . (16.13)
В результате интегрирования получаем
G{x- x’'t) = ) ¦ <16Л4) Согласно (10.11) волновая функция рассматриваемого состояния при t > 0 есть
оо
t) = J G{x, э-J, 0) dx’.
— oo
Лекция 4
67
Подставляя сюда (16.14) и (16.10), получаем
ф(х, t) = [тгЪ2(1 + h2t2 / fi2bA)} 1/4х
(16.15)
Найдем средние значения координаты и импульса в этом состоянии:
Мы видим, что «в среднем» свободная квантовая частица движется так же, как классическая, начинающая движение из точки х = хо с импульсом ро. Однако в квантовом случае в заданный момент t координата частицы не имеет определенного значения: она «размазана» вокруг точки x(t) с дисперсией
которая с течением времени увеличивается. При этом плотность координатного распределения есть
т. е. волновой пакет (16.15), описывающий состояние свободного движения частицы, «расплывается» с течением времени. Скорость этого расплывания можно характеризовать временем г, в течение которого первоначальная (при t = 0) дисперсия координаты Dx = = Ъ2/2 удваивается:
Мы видим, что чем меньше первоначальная неопределенность координаты, тем быстрее происходит расплывание пакета. Это явление не имеет аналога в классической механике, поскольку размеры области локализации классической корпускулы в данный момент времени полностью определяются ее собственными размерами и не зависят от времени.
Дисперсия импульса в состоянии (16.15) есть
x{t) = х0 + -pt, p(t) = Ро-
(16.16)
(16.17)
р(х, t) = \ф(х, t)\2 = (2TTDx(t)) 1/2ехр(-^д ^ ), (16.18)
68
Раздел 1
Она, как и р, не зависит от времени, что и должно быть для интеграла движения.
