Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Теперь займемся важной задачей преобразования уравнения Шредингера из координатного представления в импульсное. Если гамильтониан частицы в координатном представлении имеет вид (8.1)
Я(*> = р2/2^ + У(г), р = -гЙЛ7Р, (18.17)
то в импульсном представлении согласно (18.7) и (18.9) он может быть записан так:
Я^ = р2/2ц, + У(г^), = mv р. (18.18)
Здесь V (г1^) является операторной функцией, и ее действие на произвольную волновую функцию а(р, t) в импульсном представлении определяется соотношением (Д3.6). Для записи его в явном виде мы должны взять в качестве функций х/(?) обобщенные собственные функции Vv(p) оператора координаты в импульсном представлении. Тогда получаем
У(г^)а(р, t) = J(ipp(p')\a(p', t))V(p)ipp(p) d3 p.
Подставляя сюда Vv(p) из (18.12), находим
V(r^)a(p, t) = J W(p' - p)a(p', t) d3p', (18.19)
Лекция 4
15
где
W(р' - р) = (2тгЙ)“3 / V(r)exp(^(p' - р)г) d3г (18.20)
есть оператор потенциальной энергии в импульсном представлении. Он получается из оператора V(г) потенциальной энергии в координатном представлении с помощью преобразования Фурье. Мы видим, что этот оператор является линейным интегральным оператором. Он зависит от двух независимых переменных р и р'. Такие потенциалы называются нелокальными в отличие от локальных потенциалов, являющихся функциями одной независимой переменной.
Мы видим, что в ^-представлении оператор потенциальной энергии V(г) является локальным, а в импульсном представлении становится нелокальным.
Рассмотрим сферически симметричный потенциал V(r) = = У(|г|). В этом случае интегрирование по угловым переменным в (18.20) легко выполняется, если полярную ось сферической системы координат направить по вектору
т. е. в этом случае W не зависит от направления вектора q. Важный частный случай:
где А и к — некоторые константы, причем к ^ 0. Подставляя (18.23) в (18.22), получаем
q=i(p'-p).
(18.21)
Получаем
оо
(18.22)
о
V(r) = Ae-"r/r,
(18.23)
(18.24)
Если потенциал V(r) представим в виде ряда Тейлора, то нет необходимости пользоваться общей формулой (18.20). Значительно проще воспользоваться формулой (3) для операторной
76
Раздел 1
функции и записать потенциал в р-представлении. Сделаем это для частного случая потенциала осциллятора:
V{r) = const г2. (18.25)
В р-представлении он принимает вид
У(?(Р)) = COnst (?(Р)) 2; ?(Р) = Шр' (18 26)
Таким образом, если потенциал в ^-представлении может быть разложен в ряд Тейлора, то в р-представлении он может быть представлен в виде дифференциального оператора.
В общем случае потенциал взаимодействия в импульсном представлении дается формулой (18.20), а уравнение Шрединге-ра (7.1) в этом представлении принимает вид
t) = Е_а(Р) t) + J W(p' - р)а(р', t) d3p'. (18.27)
Следовательно, в импульсном представлении уравнение Шредин-гера в общем случае является интегродифференциальным уравнением. В частном случае потенциала (18.25) оно может быть представлено в виде дифференциального уравнения.
Уравнение Шредингера в ^-представлении, конечно, эквивалентно уравнению Шредингера в ^-представлении, поскольку одно получается из другого преобразованием Фурье. Однако в некоторых случаях уравнение в р-представлении решается проще, и этим широко пользуются в практических расчетах.
Упражнения к лекции 4
4.1. Найти распределение импульса частицы в основном состоянии линейного гармонического осциллятора.
4.2. Найти распределение импульса электрона в основном состоянии атома водорода (см. упражнение 1.6).
4.3. Записать гамильтониан линейного гармонического осциллятора в импульсном представлении.
4.4. Найти общее решение стационарного уравнения Шредингера для линейного гармонического осциллятора в импульсном представлении, воспользовавшись известным решением в координатном представлении. Получить тот же результат, решая непосредственно уравнение Шредингера в импульсном представлении.
Лекция 5
11
4.5. Записать волновую функцию свободной частицы в импульсном представлении.
4.6. Получить приближенное выражение для энергии связи частицы с массой р в одномерной прямоугольной яме конечной глубины Vo, если ширина ямы а удовлетворяет соотношению а <С h(2/iiVo)~1^2. Оценить вероятность пребывания частицы внутри и вне ямы.
4.7. Проверить выполнение соотношения неопределенностей для координаты и импульса частицы, движущейся в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.
4.8. Показать, что все точки непрерывного спектра при движении частицы в одномерной прямоугольной яме с одной бесконечно высокой стенкой невырождены.
4.9. Показать, что плоская волна (16.5) является обобщенной собственной функцией оператора Lz и принадлежит собственному значению Lz = 0, если ось z направлена по вектору р.
4.10. Записать кулоновский потенциал V(r) = в импульсном представлении.
ЛЕКЦИЯ 5 § 19. Эквивалентные представления
В § 18 мы показали, как преобразуются волновые функции и операторы, если вместо пространственной координаты частицы г взять в качестве независимой переменной ее импульс р. Мы видели, что волновые функции подвергаются при этом преобразованию Фурье (18.1), которое является линейным и сохраняет нормировку волновой функции (см. (15.10)).
