Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Сейчас мы рассмотрим другой способ описания временной эволюции системы, который называется представлением Гейзенберга. Оно получается из представления Шредингера с помощью унитарного преобразования
§= u+(t, 0) = ехр(|Я-^. (21.5)
Будем обозначать через и Рщ волновые функции и операторы в представлении Шредингера, а через фг и FT — те же величины в представлении Гейзенберга. Тогда согласно (19.1) и (19.8) имеем
Фт(С, t) = §фш(?, t) = exp{jH ¦ *)> (21-6)
Fr = = ехр(|Я • t) Fm exp(-jLff • t). (21.7)
Лекция 5
85
Подставляя (21.3) в (21.6), получаем
Фг(^ t) = фш(?, t = 0), (21.8)
т. е. в представлении Гейзенберга волновая функция состояния от времени не зависит и совпадает с волновой функцией в представлении Шредингера при t = 0. С другой стороны, согласно (21.7) операторы в этом представлении, вообще говоря, являются функциями времени, причем их вид существенно зависит от гамильтониана системы.
Исключением являются операторы интегралов движения. Действительно, для них согласно (8.3) имеем
[Ян, Яш] = 0.
Поэтому из (21.7) получаем
FT = Fm, (21.9)
т. е. гейзенберговские операторы интегралов движения не зависят от времени и совпадают с соответствующими шредингеровскими операторами. В частности, это относится к гамильтониану системы
НТ = НШ = Н. (21.10)
Переходим к нахождению распределений физических величин в представлении Гейзенберга. Как мы видели в § 19, скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора представления. Поэтому формулы (21.1), записанные в представлении Шредингера, мы можем сразу переписать в представлении Гейзенберга:
p(Fn,t) = \(<pnT(t)\ipT)\2, p(f, t) = \{Xfr(t)\ipr)\2, (21.11)
где {(Pnr(t)} и {Xfr(t)} являются собственными функциями и обобщенными собственными функциями гейзенберговского оператора Fr(t). Эти функции зависят от времени, поскольку таковым является оператор ^г(^), если только F не есть интеграл движения.
В § 6 мы отмечали, что, несмотря на эквивалентность соотношения (21.3) уравнению Шредингера (21.2), обычно для нахождения волновой функции t) в произвольный момент времени t бывает проще решить дифференциальное уравнение, чем найти результат действия эволюционного оператора U(t, 0) на волновую
86
Раздел 1
функцию ф(?, 0). Аналогично этому в представлении Гейзенберга вычисление оператора по формуле (21.7) обычно бывает более сложной задачей, чем решение дифференциального уравнения, которое легко получается путем дифференцирования по времени равенства (21.7):
dJWl = L[H, т. (21.12)
При этом начальное условие есть
FT(t = 0) =Fm; (21.13)
здесь предполагается, что Рщ не зависит от времени.
Уравнение (21.12) называется «уравнением движения» для гейзенберговского оператора Fr(t). Оно вместе с начальным условием (21.13) эквивалентно соотношению (21.7). Уравнение (21.12) очень похоже на соотношение (8.1). Однако заметим, что тогда как (8.1) представляет собой определение оператора скорости изменения физической величины в представлении Шредингера, соотношение (21.12) есть уравнение для гейзенберговского оператора.
Нахождение собственных функций и обобщенных собственных функций оператора Fr(t), необходимых для вычисления распределения (21.11) физической величины F, может оказаться непростой задачей. Значительно легче обычно найти низшие моменты распределения:
F(t) = (фг^гШг), (21.14)
DF(t) = {ipr\F?(t)\ipr) - (.F(t))2. (21.15)
Описание эволюции системы в представлении Гейзенберга физически совершенно эквивалентно описанию в представлении Шредингера, так как эти представления связаны унитарным преобразованием. Однако конкретные вычисления для определенной задачи в одном представлении могут оказаться значительно проще, чем в другом.
Отметим, что в представлении Гейзенберга так же, как и в представлении Шредингера, остается полная свобода выбора обобщенных координат системы. В обоих случаях существуют координатное, импульсное и множество других представлений в том смысле, что в качестве независимых переменных волновых функций могут быть выбраны г, р и другие физические величины.
Лекция 5
87
В заключение заметим, что наряду с представлениями Шредингера и Гейзенберга возможны другие способы описания эволюции системы, которые определяются выбором унитарного преобразования, зависящего от времени. Наиболее распространенным из них является представление взаимодействия (см. упр. 5.3).
§ 22. Свободное движение и линейный гармонический осциллятор в представлении Гейзенберга
В качестве примера использования представления Гейзенберга рассмотрим одномерное движение частицы с массой ^ в поле с потенциальной энергией V(x). Найдем гейзенберговские операторы координаты и импульса частицы. Для этого можно воспользоваться общей формулой (21.7), но проще решить уравнения движения (21.12) для этих операторов:
Для вычисления содержащихся в этих уравнениях коммутаторов воспользуемся инвариантностью всех операторных соотношений относительно изменения представления и известными значениями этих коммутаторов в представлении Шредингера. Получаем
(22.1)
(22.2)
где
(22.3)
[Яг, жг] = 2^[Рг, хт] = ~j[Pr,
