Курс квантовой механики - Балашов В.В.
ISBN 5-93972-077-3
Скачать (прямая ссылка):
Собственные значения оператора инверсии (Р = ±1) называются четностью. Состояния, описываемые четными (нечетными) функциями, называются четными (нечетными).
Если гамильтониан системы коммутирует с оператором инверсии, то в соответствии с теоремой, приведенной в § 4, существует общий полный набор собственных функций этих двух операторов. Каждое из состояний, описываемых этими функциями, является либо четным, либо нечетным.
Пусть Е — невырожденное собственное значение четного гамильтониана:
НфЕ(г) = ЕфЕ(т).
Тогда РФе{г) — тоже собственная функция этого гамильтониана, принадлежащая тому же собственному значению
?Фе{ г) = РФе(г).
Следовательно, Фе{т) — собственная функция оператора инвер-сии, т. е. она обладает определенной четностью.
§ 13. Осциллирующий волновой пакет
Вернемся к линейному гармоническому осциллятору. В § 11 мы установили свойства его стационарных состояний и обнаружили, что, несмотря на принципиальные отличия квантовомеханического описания от классического (квантование энергии колебаний, возможность проникновения в область, где полная энергия меньше потенциальной и т. д.), в то же время существует и определенное сходство в движении квантового и классического осцилляторов. Продолжим это сопоставление.
В классической механике мы обычно имеем дело со следующей задачей: в момент времени t = 0 задаются отклонение ж(0) = хо и начальный импульс р(0) = ро; требуется найти отклонение x(t) и импульс p(t) в произвольный момент времени t > 0. Как в квантовой механике сформулировать задачу, аналогичную этой задаче классической механики?
В силу соотношения неопределенностей задать в начальный момент определенные значения координаты и импульса нельзя.
Лекция 3
47
В квантовой механике роль начального условия играет задание волновой функции системы в момент t = 0. Подберем эту волновую функцию таким образом, чтобы при t = 0 средние значения координаты и импульса осциллятора равнялись заданным значениям xq и ро:
x(t = 0)=x0, p(t = 0)=po, (13.1)
а неопределенности координаты и импульса были бы минимальными. Возьмем для этого, например, функцию вида
ф{х't=0)=т^г^Н^)2)“КбН' <13-2)
где
ь = y/h/iMjj. (13.3)
Она нормирована в соответствии с общим правилом (1.3) и, как легко проверить, удовлетворяет условиям (13.1). Легко вычисляются также дисперсии координаты и импульса:
Dx(t = 0) = Ъ2/2, Dp(t = 0) = h2/2b2. (13.4)
Отсюда видно, что выбранная волновая функция (13.2) обладает уникальным свойством — она минимизирует соотношение неопределенностей (5.2):
Ах-Арх = П/2. (13.5)
Заметим, что это свойство не связано со специальным выбором параметра в виде (13.3).
Если xq ф 0 или ро ф 0, состояние с волновой функцией (13.2) не является стационарным и энергия не имеет определенного значения (см. упр. 3.11). Такое нестационарное состояние частицы, довольно четко локализованное в пространстве, является примером пространственного волнового пакета.
Как ведет себя с течением времени осциллятор, который в начальный момент находится в состоянии с волновой функцией (13.2)? Для ответа на этот вопрос надо решить уравнение Шредингера (6.1) с начальным условием (13.2). Для простоты положим ро = 0.
В соответствии с (10.3) ищем ф(х, t) в виде суперпозиции волновых функций стационарных состояний:
ф{х, t) = ^2an^n(x)eyip^-^?ntj, (13.6)
П
48
Раздел 1
где согласно (11.18) и (11.20)
Фп{х) = cnHn(^j ехр(-|(|) (13.7)
сп = (2пп\у^Ь)~1/2 (13.8)
собственные функции гамильтониана линейного гармонического осциллятора.
Согласно (10.7) имеем
ап —
оо
Со
V —оо
(13.9)
Для вычисления этого интеграла удобно воспользоваться свойством (Д6.3) производящей функции полиномов Эрмита:
оо
Ч2А?-л2)=5>"Ш- <1310)
п=0
Умножим обе части этого равенства на exp ^ ~ ^ ) )
и проинтегрируем по х. Используя (13.9), получаем
оо
/ ехК2Л! -д2) exp(_Kf)2 -1 (Чг1)2)dx=
_ ап y/ьура п /1^114
— у ап. (13.11)
П=0
Интеграл, стоящий в левой части этого равенства, имеет значение
k 2
Разлагая в ряд ехр(Ажо/Ъ) и сравнивая с правой частью равенства (13.11), получаем
(•х0/Ь)п ап = — ехр -
л/2пп!
Лекция 3
49
Подставляя (13.12) в (13.6) и учитывая, что
Еп = (ji + ^
с помощью (13.10) окончательно получаем
— г^ sincjt — ^ sin2a;t^. (13.13)
Найдем средние значения координаты и импульса в этом состоянии:
x(t) = жо cosut, p(t) = — xo/ilu sincot. (13.14)
Мы видим, что в среднем рассматриваемый волновой пакет движется так же, как классический осциллятор, начинающий движение из точки х = хо с нулевой скоростью. В отличие от классического осциллятора в квантовом случае координата и импульс в любой момент времени не имеют определенных значений: они «размазаны» относительно средних значений (13.14) с дисперсиями, для которых легко получить следующие значения:
Сравнивая их с (13.4), видим, что дисперсии координаты и импульса осциллятора не зависят от времени. При этом плотность координатного распределения дается формулой
р(х, t) = \ф(х, t)I2 = ^=ехр(-(Ж ). (13.16)
Упражнения к лекции 3
3.1. Сформулировать краевую задачу о нахождении стационарных состояний дискретного спектра частицы, движущейся в одномерной потенциальной яме следующего вида:
