Человеческий фактор. Том 3. Часть 1 - Сальвенди Г.
ISBN 5-03-001815-8
Скачать (прямая ссылка):
Получим сначала выражение для плотности распределения вероятностей моментов окончания в последовательных и параллельных системах процессов. (Более подробные сведения о таких системах приведены в работе [64].) В параллельной системе все процессы обработки начинаются в один и тот же момент
Стохастические сетевые модели
271
времени, но могут заканчиваться в различные моменты времени (рис. 4.1, б). Если длительности процессов в системе случайны, порядок завершения отдельных процессов будет изменяться от эксперимента к эксперименту. Напротив, в последовательной системе в каждый момент времени выполняется только один процесс обработки (см. рис. 4.1, а). Для двух указанных типов систем назовем состоянием интервал времени между началом одного процесса обработки и окончанием следующего. В последовательной системе в каждом состоянии обрабатывается единственный элемент информации; в параллельной системе в каждом состоянии имеется несколько исполняющихся процессов, по одному для каждого обрабатываемого элемента. Для упрощения вычислений предположим, что в каждом состоянии параллельной системы длительности завершения обработки всех элементов стохастически независимы. Ограничимся рассмотрением системы с двумя процессами, обобщение которого на системы с п>2 процессами очевидно. Пусть А, В — два обрабатываемых элемента (в некоторых ситуациях более удобно представлять Л и В не как обрабатываемые элементы, а как их позиции при предъявлении испытуемому).
Перейдем к выводу выражения для плотностей распределения вероятностей в последовательных и параллельных системах.
В последовательной системе в силу случайности иногда первым будем обрабатываться элемент а, а вторым — элемент Ь, а иногда — наоборот. Пусть р — вероятность того, что а обрабатывается первым, fai(t)—плотность распределения вероятностей времени обработка а при условии, что а обрабатывается вторым. Аналогично определим fbi(t) и fbz(t). Будем представлять событие, состоящее в том, что а обрабатывается первым, а b — вторым, в виде <а, Ь>. Обозначим
fa 1> 62(^01» ^Ь2> ЬУ)
плотность вероятности сложного события, состоящего в том, что первым обрабатывается а, что время обработки а равно ta 1 и что время обработки b есть • Эту плотность можно представить в виде произведения следующих величин: вероятности р того, что первым обрабатывается а\ плотности распределения вероятностей fai(tai) времени обработки а, если а обрабатывается первым; условной плотности распределения вероятностей, времени обработки Ь, если обработка а продолжается в течение времени tai, т. е.
fal, (^а1» ^>2> (а> ^)) = pfai(tai) fb^ihzl^ai)- (13)
Аналогично получим
fbl, aztfbi, ta2i О))— (1 р) /bj (^bj) /аг (^«2 I ^>i)- 0^)
272 Глава 4
В параллельной системе определим gai как плотность распределения вероятностей времени завершения обработки а, если а будет обрабатываться первым, а gbi(t) как плотность распределения вероятностей времени завершения обработки Ь, если Ъ будет обрабатываться первым. Отметим, что последние две плотности зависят не от полного времени обработки а или Ь, но от времени, остающегося для обработки второго элемента после того, как был обработан первый элемент. Соответствующие введенным плотностям функции распределения будем обозначать заглавными буквами.
Теперь можно выписать выражение искомой плотности для параллельной системы. Пусть gai,b2(tau hi', <a, b>)—совместная плотность вероятности того, что первым обрабатывается а, что время обработки а равно tal и что время, остающееся для обработки Ь, равно ^2. В силу сделанного допущения о независимости эту плотность можно представить в виде произведения трех плотностей, а именно:
8(4, bztfait tbz> ЬУ) — gai (?ai) Gi>i (^oj) gbz (^>2 I 0^)
Аналогично получим выражение для симметричной функции
Sbl, 02 (4l> ^a2> (Ь, Я)) = §bi (^bl) G<n (^bj) ga2 (^02 I ^>l)- 0®) Будем говорить, что система независима по состояниям, если интервалы времени между окончанием обработки последовательных элементов стохастически независимы. Для последовательной системы это означает, что выполнено условие
tbz (hi I ta 1) = fb% (^62)-Наибольший интерес представляет случай экспоненциально распределенных длительностей состояний, т. е. интервалов времени между завершением обработки двух последовательных элементов. Если система последовательна и независима по состояниям, плотности в формулах (13) и (14) принимают вид
fai,bz(tai> ЬУ) ~ pUai exp ( Ua^a^bi Мбг^Ьг)’ ЛЗ-О^)
hi a2 taa‘> (Ь, ay) = (1—p)llbl exp ( UbitbjUaz U02^02).
(18)
где через uat обозначен параметр интенсивности времени обработки а при условии, что а обрабатывается первым; прочие параметры интенсивности определены аналогично.
Рассмотрим теперь параллельную систему с экспоненциально распределенными временами завершения. Правая часть соотношения (15) принимает вид
gai [tai) Gbi (tai) = Vot exp Ki + Vbl) tai\.
В предположении о независимости перекрестных состояний для
Стохастические сетевые модели
27»
функции gbi в правой части соотношения (15) имеем
§Ъ2 (tb2 f ^01) — §b2 {tbz) = vba (“ Vbbtb-i)-
