Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Теорема 1. Пусть X — полное сепарабельное метричес-
кое пространство, U — компакт. Если управляемый процесс
удовлетворяет у. с. н., а стоимость управления Fn непрерывна
снизу и ограничена снизу на Xn+1y,Un+l, то: 1) все функции,
определяемые равенствами (2), непрерывны снизу, 2) цена уп-
равления задается равенством (3), 3) существует последова-
тельность борелевских функций

Un = gn(Xo, Х\, . . . , Хп, Uo, U\, . . . , Un-l),

удовлетворяющих соотношению (5).

Эти функции определяют нерандомизированное оптимальное
управление.

Доказательство. 1) Если Fn непргрывна снизу, то непре-
рывность снизу F'n вытекает из I, если при этом Fп ограничена
снизу, то F'n будет такой же. Можно показать, что при выпол-
нении у. с. н.

\ f (-"-О' • • •» xn'-\i Щ> • • •, ип-\) Pn(dx | х0, ..., хп_\, и0, ..., ип~\)&

для всех /6С^/! уя. Используя IV, отсюда получаем, что
Fn-\ (хй, ..., ип_х) непрерывна снизу, если такой будет
Fn (х0, и0, ..., ип_и х„). Остальные утверждения вытекают из
соотношения (5), которое есть следствие свойства III. □

б) б-оптимальные управления. Для дальнейше-
го нам понадобится понятие аналитического множества.

Пусть Z — полное сепарабельное метрическое пространство.
Множество AaZ называется аналитическим, если можно ука-
зать такие компакт U и борелевское множество B^Zy^U, что
Л_есть проекция В на Z, т. е. А = [z : 3u6U, {z,u)GB}.
/ Приведем без доказательства некоторые факты об аналити-
ческих множествах.

AI. Совокупность аналитических множеств пространства Z
(будем обозначать ее s4-z) образует монотонный класс, замк-
нутый относительно операций Л и (J-

А2. Если X и Z — полные сепарабельные метрические про-
странства, f — непрерывная функция из X в Z, то для A<^s&x
будет f(A)*slz.

A3. Пополнение борелевской меры на Z определено на «s#z-

Обозначим через множество числовых функций на Z, для
которых {г:/ (г) < А,}€^ для всех Х^р.

А4. Если /е^гхи, Ш1 /> — оо , то inf / (г, и)^г-

_ и

А5. Если /е^гхи-, то для всех и^и /(г, и)в-^г-
А6. Пусть X, Ё — полные сепарабельные метрические про-
странства, р(А, г) для всех мера на &х (борелевской
о-алгебре X), для всех А^х р(А, -)^г, /Ъ^ххи и />0.
Тогда

\/{х,г)р{с1х,г)<сЖг. (7)

А7 (Теорема об измеримом выборе). Пусть g(i•&zxo•>
> — оо и для всех существует m'mg(z, u) = g(z). Тогда

и

существует борелевская функция и = ф(г) такая, что

g(z) = g(z, Ф(г)).

Теорема 2. Пусть X и с/ —полные сепарабельные метричес-
кие пространства, рп(А/х0, ...,и„_х) для всех А^$х принадле-
жит <&хпхип, Рм^х^+ихиы+\ ?и>0- Тогда: 1) функции Рп и
/^л-ь определяемые равенствами (2), принадлежат .я^я+1х[/п и
^хпхип соответственно; 2) цена управления задается равенством
(3); 3) для всякого е>0 существует последовательность боре-
левских функций

и« = £»(■*<)• • • •' и«-ь -«я).

определяющих нерандомизированное е-оптимальное управле-
ние.

Доказательство. Утверждение 1) вытекает из свойств
А4 и А6. То, что цена управления задается (3), если только
функции в цепочке (2) измеримы (в нашем случае это функ-
ции, измеримые относительно пополнения борелевской о-алгеб-
ры по любой мере), установлено выше. Установим 3). Для это-
го достаточно доказать, что для любого б>0 можно указать
такую борелевскую функцию <рп(х0, .... ип-\, хп) со значения-
ми в и, что

Ш1 Рп (х^, и0, • . ., Хп, 11п) ^>

^>Рп(х0, и0, ..., хп, ч>п(х0, ..., ип_\, хп)) б. ( )
Пусть /^ = £6, если £6 < .Р„ < (& + 1) 6. Очевидно Р«е
б^х«+'х £/"+'• Для всех х0, . ..,ия_ь хп существует т'тр%(хй,

"л

и0, ...,хп, и«) и на основании А7 борелевская функция и„ =
= Ф„(^с • • •. "л-ь хп), Для которой

ттР*(х0, ...,*„, и„) = Р%(х0, ...,хп, цп(х0, ип_и хп)).
Следовательно,

\тА Рп>т\пР* = рь{х0, ...,хп, Ф„)>/\,(л:0, ...,хп, %) — б.
ап "«

Заметим, что Р„(ха, ...,хп, цп(х0, ...,ип_ъ лгп))6^л+1хс/Л, так

как множество {х0, ..., хп, и0.....ип-\) : Рп(х0, ..., хп, ы„)<

<СХ} в Хп+1уип+{ есть прообраз аналитического множества
{(х0, • • •, хп, и0, ..., ип) : Рп{х0, хп, ип)<.1) в Хп+1Хип"
при борелевском отображении ХП+1Х£/П в Хп+1У,ип+1, опреде-
ляемом равенствами х{=х{, 1^«, = —1, «п=фп(*о,...
«п-ь ^п). Выберем на каждом шаге управление ып =

= фп(*0, • • • , «и-ь *п) и положим

Р ы = Рм
Рп(х^, . . ., Ц.п__\, Х^) =

= Рп(х0, ..., ип_\, хп, фп(.к0, й0, ...,.дсл)), п<С N,

Рп-\ (Х0' ' • •' -*"Я-ь "л_]) =