Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Пусть |(0 является гауссовским процессом со
средним 0 и непрерывной корреляционной функцией г (^, х),
Ь, 5б[а, Ь]. Обозначим через {фй(0} ортонормированную последо-
вательность собственных функции ядра г(^, х), Хк — сортветствую-
ь
щие им собственные значения: ХАфЛ(0=^/"(^, «)ф/г(5)о,5. Относи-
а
тельно а(£) предположим, что оно интегрируемо с квадратом.
ь
Пусть йа = ^й(0Фа(0^- При Сделанных предположениях суще-
а
ствует интегрируемая с квадратом модификация процесса
£(0- Поэтому можно считать, что меры р0 и р: заданы на
Ь2[а, Ь]. Рассмотрим отображение Ь2[а, Ь] в 1%.
функции лг"(2) ставится в" соответствие последовательность коэф-
фициентов Фурье относительно {фА}. Это взаимно однозначное
соответствие (в Ь2 Ь] отождествляются функции, равные почти
всюду). Пусть р0 и ц,!— образы мер ц.0 и н<1 при указанном ото-
бражении. Это будут продакт-меры в пространстве последова-
тельностей, если обозначить последовательность х = (хх, х2, ...),
то по мере ц0 Х1 имеет нормальное распределение со средним О
и дисперсией %[, а по мере цх нормальное с той же дисперсией,
но средним а,;. Из статьи 1, гл. 3, § 5.4 настоящего тома выте-
кает, что Ц1 <^ р0 тогда и только тогда, когда
2а?Аг<<*>, (Ю)
при этом
{со оо 2 1
Значит, гипотеза Н0 принимается, если
оо
2тт^<г, (12)
оо
и отвергается при У-Р^х^г, г —некоторое число. При вычис-
лении ошибок первого и второго рода введем величину
со 2 оо
^=2^"- Тогда 2т~л:< ПРИ гипотезе Но имеет нормальное
распределение со средним 0 и дисперсией с?, поэтому вероятность
ошибки первого рода
оо
_1_ Г -*1
а(г)= /2йГ ] е 2^й. (13)
Г
оо
При гипотезе Я^г-*! имеет нормальное распределение с той
же дисперсией и средним й. Поэтому вероятность ошибки
второго рода
4 ' У2п
Из условия (10) вытекает, что определена функция 6(0 =
оо
= 2 -^7^Ф«(0е12[а, Ь), при этом
П7
1=1
где
г1/2(*, s) = 2V%Ф*(0ф*(s)•
^г=l
Условие (12) перепишется в виде
ь
5*(/)^(0^<г,
а величина с?, через которую определяются вероятности опшбок,
так выражается через Ъ (О-
ь
Пусть, например, |(0=щ'(0> ^б[0. 1], а(1)=а1. Тогда й(0=а,
й = а2, гипотеза Я0 принимается при ааг)(1)<г, вероятности
ошибок определяются формулами (13) и (14).
§ 3. Принятие решений в условиях неопределенности
Легко представить себе ситуацию, когда для принятия оп-
ределенных решений нужно знать распределения некоторых
величин. Скажем, при планировании выпуска одежды, обуви,
нужно знать распределения параметров, определяющих раз-
меры. Проектирование различных приборов должно учитывать
возможные воздействия случайных возмущений, для этого
надо знать их распределения. Почти всюду во всей практиче-
ской деятельности люди сталкиваются с необходимостью при-
нимать решения в условиях неопределенности. Мы здесь рас-
смотрим лишь неопределенности, заключающиеся в том, что
неизвестно некоторое распределение. Ниже предлагается ста-
тистический подход к данной ситуации: мы предполагаем, что
располагаем некоторой статистической информацией, позволя-
ющей судить о неизвестном распределении. Решения должны
приниматься на основании этой информации.
3.1. Постановка задачи. Будем предполагать, что заданы
следующие объекты: 1) (X,â§)—измеримое пространство, на-
зываемое пространством наблюдений, 2) множество распреде-
лений {Ps, 066} на X. (6,^ ) — некоторое измеримое простран-
ство, Р9 — возможные значения неизвестного распределения,
будем предполагать, что Рв(В) ^-измеримо для всех В£&,
3) (D, 2))—измеримое пространство, называемое простран-
ством решений, элементы d£D — это те решения, которые нуж-
но принимать, 4) функция R(Q,d) из в измеримая
относительно ^(giiZ), называемая функцией риска, она опреде-
ляет убыток, получаемый после принятия решения d, если
неизвестное распределение (будем его называть «истинным»)
есть Ре. Этот набор объектов определяет условия задачи. Да-
лее имеется п независимых наблюдений случайного элемента
х(ы) в (Х,9§), имеющего распределение Рв, обозначим их
через хи . . . , хп. Будем, далее, через Ре обозначать вероят-
ность, а через Ме — математическое ожидание рассматрива-
емых величин в предположении, что Р9 — истинное распреде-
ление. Задача состоит в выборе решения d на основании име-
ющейся информации. Такое решение естественно будет функ-
цией из Хп в D d(xi, . . . , хп). Всякую ^"-измеримую функцию
из Хп в D будем называть решающей функцией. Таким обра-
зом задача сводится к выбору решающей функции. Качество
данной решающей функции определяется средним убытком,
который будет получен при ее использовании. Будем обозна-
чать решающие функции символом d* = d(х\, . . . , хп), D* —
множество всех решающих функций. Средний убыток для d*
определяется формулой