Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

вать его байесовским решением, отвечающим априорному
распределению v. Существование байесовского решения, отве-
чающего любому априорному распределению, связано с топо-
логическими свойствами пространства 0 и D (при этом а-ал-
гебры и Ж> являются борелевскими) и свойствами непрерыв-
ности функции R(Q, d). В любом случае существуют е-байесов-
ские решения, т. е. такие решающие функции dw*, что

Rv(d*vJ<miRv(d*) + s.

d*

Связь байесовских решений и неулучшаемых решающих функ-
ций показывает следующая теорема.

Теорема 1. Пусть в — полное сепарабельное метрическое
пространство, R(Q,d*) является непрерывной функцией 0, ка-
кова бы ни была решающая функция d*. Тогда если априор-
ное распределение v таково, что v(C)>0, для всякого непусто-
го открытого множества С, то байесовское решение dv* (если
оно существует) является неулучшаемой решающей функцией.

Доказательство. Предположим противное: при некотором
d* R(Q, d*)<R(Q, <), но

sup\R(d;, Q)-R(d\ е)]>0.

е

Тогда множество {Q:R(d*, Q) — R(d*, в)>0} открыто и значит

B)v(de)>\R(d*, Q)v(dQ),

что противоречит определению сГ . □

3.3. Последовательный анализ. Методы последовательного
анализа решения статистических задач применяются в том
случае, когда наблюдения над случайной величиной даются не
все сразу, а поступают одно за другим (последовательно), ста-
тистическая информация накапливается, наблюдения прекра-
щаются, когда считается, что информации накопилось доста-
точно. Момент прекращения наблюдений зависит от этих наб-
людений, он случаен и должен быть моментом остановки по
отношению к последовательности а-алгебр, порожденных по-
следовательностью наблюдений. Постановка задачи отличается
от приведенной выше тем, что 1) вместо последовательности
из п независимых наблюдений хи х2, . . . , хп в пространстве
(Х,93) мы имеем бесконечную последовательность {хп, ra^l},
2) функция убытка зависит еще от одного параметра k£R+,
это R(k,Q,d), здесь k — число наблюдений, после которых при-
нято решение d, 0 — истинное значение параметра. Решающая
функция определяется двумя функциями: %(Х\,Х2, . . .) и
d(x\, х2, . . .), определенными и измеримыми на (Х00,^00) и
принимающими значения в R+ и 2D соответственно;

r(xi, x2, . . .) — момент принятия решения, d(x\, х2, . . ) — реше-
ние. Эти функции удовлетворяют следующим условиям:

1) еСЛИ Х(Х\, х2,...) = п, то х (х\, х'2,...) = п при Xi =
= X],. . ., Хп - Хп ,

2) если х(хи..., хп,.. .) = «, то d(xv х'2,.. .) = d(xu х2,...)
при Xi = X[,..., хп = х'п.

Будем называть пару функций (т, d*), t=t(xi, x2, . . .), d* =
— d(X\,x2,. ..) последовательным решением.

Средний убыток при использовании последовательного ре-
шения (т, d*) определяется равенством

/?е(т*, й?*) = Ме/?(т (*„...), е, d (Х\,...))

00

{математическое ожидание берется по мере ре = X Р е в

(Х°°,

На последовательные решения естественно распростра-
няются понятия неулучшаемого, минимаксного, байесовского
решения.

а) Последовательный выбор из двух гипотез.
Пусть 9={0; 1}, £> = {0; 1}, решение i (i=0,l) означает, что мы
считаем справедливой гипотезу Hit заключающуюся в том,
что i — истинное значение параметра. Пусть заданы числа
а>0, Ь>0, с>0, которые определяют R, а — убыток, если вер-
на гипотеза Но, принято решение 1, Ь — убыток, если верна
гипотеза Ни принято решение 0, с — стоимость одного наблю-
дения. Считаем, что принятие истинной гипотезы убытка не
влечет. Тогда убыток при использовании последовательного ре-
шения (т, d*) будет

R0{x, d*) = cM0x + aP0{d*^\},

R,(x, а*) = сМхх + ЬРх{а*=-Щ. (15)

Всякое последовательное решение определяется последователь-
ностью троек множеств {(Л^, Асп, А\), п=\, 2,...}, где А°П:
Асп,\ А1пв@'г, А°п \jAcn\jAn=Xa, множества А°п, Асп, А\ попар-
но не пересекаются. Если (хг, х2,..., xn)Ç.Aln, i = 0, 1, то при-
нимается гипотеза Hi, если (хх, х2,..., хп)вА^, то нужно произ-
вести еще одно наблюдение. Множества Асп при разных п
связаны соотношением: при (хи х2,..., xn)QAcn (хи х2,..., л:А)6
(<Ack для всех k<.n. Если такая последовательность множеств
задана, то

со со

Ре{<** = *} = 2 ре{(■*!.•••• хп)еЛ'п}, / = 0, 1.

л=1

Рассмотрим байесовские последовательные решения. Пусть я—
априорная вероятность гипотезы Н\, 1—л— гипотезы Я0. Убы-
ток, при использовании последовательного решения (т, й*)
будет

р(л, г, й*) = с»1пг + ядР1{й* = 1}-1-(1—я)6Р0{^* = 1}, (15)

где Мя=яМ1 + (1—л)М0.

Обозначим через /г (х) плотность меры Р{(с1х) относитель-
но Р0(йх) (йх). Условные вероятности гипотез Н0 И #1,
если произведено наблюдение х, будут соответственно