Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
частично упорядочено отношением е между своими элементами».
Условие у(=х—<-~](y€zy) мы перенесли механически из'определения упорядоченности. В универсуме фон Неймана оно выполнено автоматически, так как ни одно множество там не является своий собственным элементом.
В качестве упражнения полезно написать формулы:
«я вполне упорядочено отношением е»;
«я линейно упорядочено отношением е»;
«х — ординал».
3.6. ух(у&). Буквальный перевод «для всех х верно, что у является элементом г» звучит несколько странно. Еще хуже выглядит построенная в соответствии с правилами формула
Ахд х(у&).
Можно было бы несколько усложнить правила и сделать такие формулы незаконными, но в общем они ничему не мешают. В гл. II мы убедимся, что с точки зрения «истинности» или «доказуемости» они окажутся равносильны формуле ^ег. Так их и следует понимать.
Переводы арго — Li Set
Мы выберем несколько фундаментальных конструкций общематематического значения и покажем, как они реализуются в универсуме фон Неймана, в котором нет ничего, кроме множеств, полученных «собиранием» из 0, и в котором любые отношения нужно конструировать из е.
3.7.
«х — прямое произведение yXz». Это означает, что элементами я являются упорядоченные пары элементов из у и z соответственно. Определение неупорядоченной пары очевидно: формула
у« (ы?х*—»•(« = г/, V« = г,))
16
«означает» или сокращенно записывается в виде х={г/ь гх} (ср. с п. 3.4), Упорядоченная пара г/1 и г\ вводится приемом Куратовского: это множество Х\, элементами которого являются неупорядоченные пары {уи У\} и {уи гц). Таким образом, мы при-ходим к формуле
'ЗЛгЗ^г ("--Ч == {Уг' гг}в\/ Уг=={Ух> Ух} /\ 2!=={^Л> Ч}*")» которая будет сокращенно записываться в виде
Х1== (У\> Ч)
и читаться «^1 есть упорядоченная пара с первым элементом г/1 и вторым элементом 21». Сокращенные записи подформул в формуле взяты в кавычки; позже мы перестанем это делать.
Окончательно, высказывание «х—г/Хг» может быть записано в виде
V*, *~-*З^Зг1 (*/!©/Дг.бгД-х, = (г/„ г,)“)),
чтобы в последний раз напомнить читателю о вольностях записи» напишем эту же формулу по всем канонам 3?\\
ЧХг ((е(х,х))*--*(3*Л (ЭЧ (((? (УхУ)) Г\(&х*)))Л(ЯУг (32г (((?« ((? Ш(«Ч)) *—»((= («г/г» У(=("2Гг)))))Л (Vм ((?=(ыУг))< ’(—(иУх))))) А Д(у« ((^(«2,))«—((= (ггг/1))У(= (ггг,)))))))))))).
Упражнение: где находится открывающая скобка, парная к пятой от конца закрывающей скобке?
В § 1 гл. II будет указан алгоритм для решения таких вопросов.
3.8.
| «/ — отобраоюение множества и в множество о». Прежде всего,
I отображения (или функции) отождествляются со своими графиками: иначе их не удается- рассматривать как элементы универсума.
Следующая формула последовательно накладывает на { три ограничения: / есть подмножество ггХщ проекция § на и совпадает со всем гг; каждому элементу из гг отвечает ровно один элемент из о:
уг>е/->(ЗЧЗЧ^.еиДч&уУг^Цгг,, у,)“)))Дуи,
—НЧЗг (а,©>Д“г = (и„ о,)“ДгеШДуЧуо.У^ (ЭЧЭЧ (Ч^/Д Д22е/Д“2, = («.. «О“Л% = («,. »«)“)-*. = ».)?
Упражнение: написать формулу «/ есть проекция г/хг на 2».
2—1 17
3.9.
«х— конечное множество». Конечность далеко не является примитивным понятием. Вот ее определение по Дедекинду: «не существует взаимно-однозначного отображения ^ множества х на его собственное подмножество».
Формула:
~1з/ (“/== отображение х в -«“Ду^уизу^уа, ((“<Д> 0,>€г/“Д Ли{«г, о2)е/“ДП («, = «,))—“] (о, = о1))Лзи,(и1ед:Д
ЛаМЧ0»» и1>е/“)))-
Сокращение а{и„ означает, конечно,
ду(‘у = (и, оху/\уёп.
3.10.
«х — целое неотрицательное число». Естественными представителями натуральных чисел в универсуме фон Неймана служат, конечные ординалы, так что нужная формула может выглядеть так: «х вполне упорядочено отношением е «Л» х конечно».
Это определение сразу дает естественный порядок натуральных чисел.
Упражнение: подумать, как написать формулы «х+г/=х» «хг/=2», где х, у, г — целые числа ^0.
После этого можно будет обычным образом написать формулы «х — целое число», «х —рациональное число», «х — вещественное число» (по Кантору или Дедекинду) и т. д. и затем построить формальную версию анализа. Записи приемлемой длины будут получаться лишь при периодических расширениях языка ЦЭе! (см. § 8 гл. II). Например, в ЦБе! нет возможности написать термы—имена чисел 1, 2, 3,... (0 есть имя 0), хотя можно построить формулы «х — конечный ординал из 1 элемента», «х — конечный . ординал из 2 элементов» и т. д. При таких окольных способах вы- I ражаться простейшие числовые тождества будут иметь невероятную длину, но, конечно, для логики важна принципиальная возможность их написать.
3.11.
«х — топологическое пространство». В формуле придется явно упомянуть топологию х. Зададим ее, скажем, множеством у всех открытых подмножеств х. Запишем для начала, что у состоит из подмножеств х и содержит х и пустое подмножество:
Р^уг (г0г/—-уи (и?Ег—‘>и(^х)) Д-хЕД/Д 0€=у.
Пересечение а) любых двух элементов и, V из у открыто, т. е. принадлежит у:
Рг: уиуоуоу ((яЕЕг/ДиЕЕуДуг ((г?шДг&Д—>г&))-+хю?у).
18
Труднее написать «объединение любого множества открытых подмножеств открыто». Напишем сначала:
