Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы разделить это удивление, мы приглашаем читателя сопоставить два коротких отрывка и вдуматься в их смысл.
«В большом здании судебных учреждений во время перерыва заседания по делу Мельвинских члены и прокурор сошлись в кабинете Ивана Егоровича Шебек, и зашел разговор о знаменитом красовском деле. Федор Васильевич разгорячился, доказывая неподсудность, Иван Егорович стоял на своем, Петр же Иванович,
3
не вступив сначала в спор, не принимал в нем участия и просматривал только что поданные «Ведомости».»
«Число делений, происходящих в 1 см3 котла за 1 с, равно /і«(о/Л) X (3,9/7,2). Смысл множителей: доля тепловых нейтронов, поглощаемых ураном, плотность нейтронов, обратное время жизни теплового нейтрона, доля поглощений нейтрона ураном,' ведущих к делению. Принимая, что в акте деления освобождается 200 Мзвт мы должны умножить (число делений/с -см3) на (200 Мэв/деление), т. е. на (0,0003 эрг/деление), чтобы получить эрг/с-см3. В конечном выражении появляется произведение т, т. е. поток. Следует использовать средний поток пи. Можно показать, что для куба средний поток связан с потоком в центре, щу, соотношением пу=паи (8/л3). Окончательно получим (в киловаттах)
После подстановки должных значений 4-10~9поа. Мощности порядка 2,5-103 кВт (Клинтон) соответствуют потоку в центре около Ю1*. В Хэнфорде поток нейтронов в центре котла составляет примерно 1013 н/с-см2.»
Первый отрывок —начало «Смерти Ивана Ильича» Л. Н. Толстого, второй взят из «Лекций по нейтронной физике» Э. Ферми (Э. Ферми, Научные труды. Т. II, М., «Наука», 1972, с. 327).
Те различия между ними, которые бросаются в глаза: в теме, требованиях к подготовке читателя, для нас наименее существенны. Разумеется, повесть Толстого апеллирует к более или менее общечеловеческому жизненному опыту, а понимание лекций Ферми требует специфических знаний физика или инженера-атомника. (Впрочем, слово «неподсудность» у Толстого относится к терминам специальной юридической системы, и его смысл для читателя без специального образования едва ли менее туманен, чем смысл понятия «тепловой нейтрон».)
Но мы хотим обратить внимание на следующее обстоятельство. Ферми объясняет, как вычислить мощность атомного реактора, т. е. некоторую величину, которую в принципе можно измерить, считав показания стрелки подходящего прибора. Вместо этого предлагается получить ту же величину обработкой несложного
3,9
арифметического текста типа т^> 3,2-10_14= ... Это — именно та
часть научного исследования, которая чаще всего передается ЭВМ (конечно, обычно объем расчетов и их логическая сложность гораздо выше). Именно привычность этого (решать задачи мы учимся с первого класса) мешает взрослому человеку удивиться: почему, собственно, формальная процедура перемножения двух деся-
4
тичных дробей с использованием таблицы умножения и правила переноса цифр («дважды девять—‘Восемнадцать, восемь пишем, один в уме ... или в ячейке памяти») приводит к некоторому предсказанию относительно реального хода событий? Ведь в реакторе не происходит решительно ничего, что можно было бы хотя бы ориентировочно соотнести с элементарным актом вычисления «дважды девять — восемнадцать». С другой стороны, этот же элементарный акт можег встретиться в вычислениях точки встречи ракеты с целью, положения корабля в море или времени жизни Вселенной — вычислениях, которые не имеют никакого отношения к реакторам.
Вычисление — это, разумеется, лишь простейший пример целостного математического текста, однако на нем можно проследить характерные черты математической речи вообще. В отношении структуры математический язык подчинен жестким принципам «правильной составленности». Эти правила должны гарантировать «истинность выводов при истинности посылок». Чрезвычайная неоднозначность, а зачастую отсутствие интерпретации каждого отдельного фрагмента математического текста в реальности, которую он может описывать, требует достаточно единой интерпретации «в мире идей»: иначе мы не можем даже приближенно представить себе содержание понятия «истинность» (кроме случаев, когда оно относится к единичному событию, происходящему «здесь и сейчас», и тогда определенно находится вне математики).
Понятие «истинности» почти с неизбежностью требует абстракции «бесконечности» уже потому, что правильное математическое высказывание должно быть правильным всегда и везде.
Между тем языковая деятельность имеет принципиально финитарные черты: каждый реальный текст делится на конечное число однозначно воспроизводимых элементарных единиц. Иначе язык не мог бы выполнять свои функции в общественной памяти и общественных каналах связи человечества.
В какой же мере конечные тексты могут отразить абстракцию математической бесконечности? Этот специальный случай общего вопроса о том, насколько язык способен выразить мысль, и составляет идейный стержень предлагаемой книги.
Более конкретно, книга посвящена изложению некоторых современных результатов о неразрешимости математических задач. В общих чертах представление о таких задачах широко распространено: квадратура круга относится к числу старейших примеров, проблема континуума — самых новых. Однако, несмотря на значительный интерес к проблеме неразрешимости, точный смысл полученных результатов известен сравнительно узкому кругу даже профессиональных математиков. Во многом это объясняется тем, что предмет математической дисциплины, внутри которой эти результаты устанавливаются, не вполне обычен: этим предметом яцляет-
