Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Манин Ю.И. -> "Доказуемое и недоказуемое " -> 10

Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.

Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое — Советское радио , 1979. — 89 c.
Скачать (прямая ссылка): dokazuemoinedokazu1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 70 >> Следующая

22
23
Пусть дана (заключенная в рамку) коммутативная диаграмма абелевых групп и их гомоморфизмов, у которой строки являются точными последовательностями:
О Kerf -*-Кег д -*? Ker h----]
Г'
+
+
+
0 Л -*? в -»• г — р
-----------------I f----------- f/,---------------------------------
д а' — в' — с' -
+
+
Cokerf Cokerд Cokerh-*- О
Тогда ядра и коядра «вертикальных» гомоморфизмов ?, к встраиваются в шестичленную точную последовательность, как показано на чертеже, причем вся диаграмма из сплошных стрелок коммутативна. Морфизм — «змея» Кег /г-э-Сокет /, обозначенный пунктирной стрелкой, и есть основной объект, который строится в лемме.
Конечно, диаграмму «со змеей» легко описать последовательно на подходящем более или менее формальном линейном языке. Однако такая процедура требует искусственного и неоднозначного разрыва связей двумерной картины (как при сканировании телевизионного изображения). Более того, отсутствие целостного образа мешает узнаванию аналогичной ситуации в других обстоятельствах и оформлению ее в единый блок.
Детство гомологической алгебры сопровождалось увлеченным распознаванием полезных классов диаграмм. Интерес к ним поначалу был даже преувеличенным: ср. добавление редактора к русскому переводу книги А. Картана и С. Эйленберга «Гомологиче-; ская алгебра» [22, с. 466—473].
Имеется, вероятно, уникальный пример целой книги с сознательно введенной двумерной (блочной) структурой: Ч. Линдси, С. ван дер 'Мюйлен «Неформальное введение в Алгол-68» [23]' Она состоит из 8 глав, каждая из которых разбита на 7 парагра фов (в числе которых для соблюдения системы восемь пустых!) Пусть (ё, }) — имя /-го параграфа ни главы, тогда книгу можно изучать «по строкам» матрицы \ё, /) или по ее «столбцам», в за висимости от намерений читателя.
Как и все великие предприятия, это плод попытки решить, по всей видимости, неразрешимую задачу, ибо, по замечанию авторов, Алгол-68 нельзя описать для того, как он уже описан.
Глава II ИСТИННОСТЬ И ВЫВОДИМОСТЬ
1. ЛЕММА ОБ ОДНОЗНАЧНОМ ЧТЕНИИ
Основное содержание этого параграфа — лемма 1.4 и определения 1.5 и 1.6. Лемма гарантирует однозначность расшифровки термов и формул любого языка класса и служит основой большинства индуктивных рассуждений. Читатель может принять ее на веру, если он сумел самостоятельно проанализировать последнюю формулу в п. 3.7 гл. I. Важно помнить, что конструкция любого формального языка начинается с заботы о недвусмысленности синтаксических правил.
Начнем со стандартных комбинаторных определений, чтобы фиксировать терминологию.
1.1. Пусть А —некоторое множество. Последовательностью длины п из элементов А называется отображение множества .{1, ..., п} в А. Образ ё при этом отображении называется 1-м членом последовательности. Значению п—0 отвечает пустая последовательность. Последовательности длины 1 иногда будут отождествляться с элементами А. |
Последовательность длины п записывается также в виде
й1 сч, • • ап, где Пг — ее 1-й член. Число ё называется номером
члена щ. Если Р=(ах, ..., ап), Q=(?61, ..., Ьт)—две последовательности, их соединением РО. называется последовательность (аи ап, Ь\, ..., Ьт) длины т + п, ё-й член которой есть а* при ё^п, Ьг-п при п+1^ё^п+т. Аналогично определяется соединение конечной последовательности последовательностей.
Вхождением последовательности (д ъ Р называется любое представление Р в виде соединения PiQPz. Подставить последовательность Р вместо данного вхождения в Р — значит построить последовательность Р1РР2..
Пусть П+, П~— два непересекающихся подмножества в (1, ... ..., «}. Отображение с: П+-+П- называется скобочной биекцией, если оно биективно и удовлетворяет условиям:
а) с(ё)>ё для всех ё^.П+\
б) для каждого ё условие /е[/, с (?.) ] равносильно с(/)е «=[/, с(0].
1.2. Лемма.
Для данных П+, П~, если скобочная биекция существует, то она единственна.
Эта лемма будет применяться к выражениям в языках класса ЗИ\\ П+ — номера мест в данном выражении, на которых стоит открывающаяся скобка, П~—номера мест, на которых стоит закры-
25
Пусть дана (заключенная в рамку) коммутативная диаграмма абелевых групп и их гомоморфизмов, у которой строки являются точными последовательностями:
л
I I I I
л
1---— Cokerf Coker д Coker О
Тогда ядра и коядра «вертикальных» гомоморфизмов f, g, h встраиваются в шестичленную точную последовательность, как показано на чертеже, причем вся диаграмма из сплошных стрелок коммутативна. Морфизм — «змея» Кег й->Сокет f, обозначенный пунктирной стрелкой, и есть основной объект, который строится в лемме.
Конечно, диаграмму «со змеей» легко описать последовательно на подходящем более или менее формальном линейном языке. Однако такая процедура требует искусственного и неоднозначного разрыва связей двумерной картины (как при сканировании телевизионного изображения). Более того, отсутствие целостного образа мешает узнаванию аналогичной ситуации в других обстоятельствах и оформлению ее в единый блок.
Детство гомологической алгебры сопровождалось увлеченным распознаванием полезных классов диаграмм. Интерес к ним поначалу был даже преувеличенным: ср. добавление редактора к русскому переводу книги А. Картана и С. Эйленберга «Гомологическая алгебра» [22, с. 466—473].
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed