Коды и математика (рассказы о кодировании) - Аршинов М.Н.
Скачать (прямая ссылка):
a = (0?, Cf2, ...«„).
По аналогии с обычной плоскостью множество всех n-мерных векторов, удовлетворяющих линейному уравнению с п неизвестными, называют гиперплоскостью в п-мерном пространстве. При таком определении множество всех решений системы (1) есть не что иное, как пересечение нескольких гиперплоскостей.
Сложение и умножение я-мерных векторов определяются по тем же правилам, что и для обычных векторов. А именно, если
а = («11 «2.....а и). ft = (?i, ?2.....?n) (2)
— два n-мерных вектора, то их суммой называется вектор
a-Yb = (0? + ?i, cc2 + ?2.....a„ + ?„). (3)
Произведением вектора а на число к называется вектор
Ka = (каъ Xa2, ..., Яа„). (4)
Множество всех n-мерных арифметических векторов с операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется арифметическим n-мерным векторным пространством Ln.
Используя введенные операции, можно рассматривать произвольные линейные комбинации нескольких векторов, т. е. выражения вида
Mi+ M2 + ... +^fcOfc1
где Я/ — действительные числа. Например, 'линейная комбинация векторов (2) с коэффициентами А, и ц — это вектор
Ka + [ift = (Ia1 + n?i, Xa2 + n?2> «>•, Aotn+|i?„).
,130 / В трехмерном пространстве векторов особую роль играет тройка векторов i, jj к (координатные орты), по которым разлагается любой вектор а:
a=xi-\-yJ-\-zk,
где X, у, Z — действительные числа (координаты вектора а).
В п-мерном случае такую же роль играет следующая система векторов:
?!=(1, 0, 0.....0),
?,=(0, 1, 0, . . . , 0),
е3=(0, 0, 1, . . . , 0), (5)
е„=(0, 0, 0.....1).
Всякий вектор а есть, очевидно, линейная комбинация векторов е2, , , ., еп:
а = а1е1 + а2е2 + ...+а„е„, (6)
причем коэффициенты Ctf, а2, . . ., а„ совпадают с координатами вектора а.
Обозначая через 0 вектор, все координаты которого равны нулю (кратко, нулевой вектор), введем следующее важное определение:
Система векторов Of, а2, . . ., Clk называется линейно зависимой, если существует равная нулевому вектору линейная комбинация Лійі + ЛгИг+ ...-\-Xkak = 0,
в которой хотя бы один из коэффициентов Af1 X2, . . ., Xk отличен от нуля. В противном случае система называется линейно независимой. Так, векторы
«! = (1, 0, 1, 1), а2 = (1, 2, 1, 1), а3 = (2, 2, 2, 2}
линейно зависимы j поскольку
01 + 02 — 03 = 0.
Линейная зависимость, как видно из определения, равносильна (при k^2) тому, что хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.
Если система состоит из двух векторов Of, а2, то линейная зависимость системы означает, что один из векторов пропорционален другому, скажем, o1=Xa2; в трехмерном случае это равносильно коллинеарности векторов ?f и а2. Точно так же линейная зависимость системы из трех векторов в обычном пространстве означает компланарность этих векторов. Понятие линейной зависимости является, таким образом, естественным обобщением понятий коллинеарности и компланарности,
,131 Нетрудно убедиться, что векторы Єї, Є2, , 4 еп из системы (S) линейно независимы. Следовательно, в а-мерном пространстве существуют системы из п линейно независимых векторов. Можно показать, что Есякая система из большего числа векторов линейно зависима,
Всякая система а1у аa, . . ап из п линейно независимых векторов /г-мерного пространства Ln называется его базисом.
Любой вектор а пространства Ln раскладывается, и притом единственным образом, по векторам произвольного базиса oj, а2, , , ап!
a = X1 O1 + X2Cii + ,,, + Хпап.
Этот факт легко устанавливается на основании определения базиса.
Продолжая аналогию с трехмерным пространством, можно и в «-мерном случае определить скалярное произведение а-Ь векторов, полагая
а = «1?i + a2?2 + ...+a„?„.
При таком определении сохраняются все основные свойства скалярного произведения трехмерных векторов. Векторы а и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:
«i?i+«2?2+. • -+KnPn=O.
В теории линейных кодов используется еще одно важное понятие — понятие подпространства. Подмножество V пространства Ln называется подпространством этого пространства, если
1) для любых векторов а, Ь, принадлежащих V, их сумма a+o также принадлежит К;
2) для любого вектора а, принадлежащего V, и для любого действительного числа X вектор Xa также принадлежит V.
Например, множество всех линейных комбинаций векторов a, C2 из системы (5) будет подпространством пространства Ln.
В линейной алгебре доказывается, что во всяком подпространстве V существует такая линейно независимая система векторов alt а2, . . .
. ., ctk, что всякий вектор а подпространства является линейной комбинацией этих векторов:
a = ^a1 + X2Ci2 +... + XfiOk'
Указанная система векторов называется базисом подпространства V,
Из определения пространства и подпространства непосредственно следует, что пространство Ln есть коммутативная группа относительно операции сложения векторов, а любое его подпространство V является подгруппой этой группы. В этом смысле можно, например, рассматривать смежные классы пространства Ln по подпространству V.
