Коды и математика (рассказы о кодировании) - Аршинов М.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Множество ненулевых элементов поля относительно умножения образует в силу определения поля коммутативную группу, которая называется мультипликативной группой поля.
Простейшими примерами числовых полей являются поле рациональных чисел Q и поле действительных чисел R (разумеется, относительно операций сложения и умножения чисел). Полем, как ясно из предыдущего, является и кольцо Z6. Вообще, можно доказать, что при любом простом р (и только в этом случае) кольцо вычетов Zp является полем. Оно называется полем вычетов по модулю р. В таблице 21 указаны элементы, обратные к ненулевым элементам поля вычетов g7.
J 27 Поля вычетов tlp являются простейшими примерами конечных полей. В алгебре доказывается, что в произвольном конечном поле число элементов q всегда есть степень простого числа: q=pn, Справедливо и обратное утверждение: для любого q, являющегося степенью простого числа, существует поле с q элементами.
Таблица 21
k 1 2 3 4 5 6
k-1 1 4 5 2 3 6
Конечные поля часто называют полями Галуа (их обозначают GF (q))- важное их свойство, используемое, в частности, и в теории кодирования, состоит в следующем:
Мультипликативная группа поля Галуа является циклической группой порядка q—1.
Образующий элемент мультипликативной группы поля Галуа называют примитивным элементом. Так, в поле примитивным элементом является класс вычетов 3. Действительно, его степени
3, 32 = 2, 33 = 6; 34 = 4, 35 = 5, 36 = 1
исчерпывают все ненулевые элементы поля.
Заметим, что класс 2 не является примитивным элементом в Z7, так как среди его степеней нет, например, класса 3. В то же время имеется очень много простых чисел р, для которых элемент 2 примитивен в Ър. Так обстоит дело в полях Z3, Iii и т. д. В теории чисел известна следующая до сих пор не решенная задача:
Бесконечно ли множество тех простых чисел р, для которых 2 является примитивным элементом В Zp?
Интересно, что с ответом на этот вопрос связано решение некоторых проблем теории кодирования.
В заключение определим еще одно важное понятие, связанное с кольцом,— понятие идеала.
Подмножество / кольца К называется его (двусторонним) идеалом, если оно само является кольцом относительно операций на К и если для любых элементов а?К и оба произведения ab и Ьа принадлежат I.
Так, множество четных чисел есть идеал кольца Z. Читатель легко проверит, что и вообще всякое множество чисел; кратных какому-нибудь числу k, является идеалом кольці %.
Рекомендуем читателю найти идеалы колец вычет«; Zj< Ze> Zj к кольца многочленов RlA'],
,128 4. Арифметическое n-мерное векторное пространство
Всякая точка на плоскости при выбранной системе координат задается парой (а, ?) своих координат; числа а и ? можно понимать также как мординаты радиуса-вектора с концом в этой точке. Аналогично, в пространстве тройка (а, ?, у) определяет точку или вектор с координатами а, ?, Y- Именно на этом основывается хорошо известная читателю геометрическая интерпретация систем линейных уравнений с двумя или тремя неизвестными. Так, в случае системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
O1X + М = сь агХ + b2y = C2
каждое из уравнений истолковывается как прямая на плоскости (см. рис, 26), а решение (а, ?) — как точка пересечения этих прямых или
как вектор с координатами а и ? (рисунок соответствует случаю, когда система имеет единственное решение).
Аналогично можно поступить с системой линейных уравнений с тремя неизвестными, интерпретируя каждое уравнение как уравнение плоскости в пространстве.
В математике и различных ее приложениях (в частности, в теории кодирования) приходится иметь дело с системами линейных уравнений, содержащих более трех неизвестных. Системой линейных уравнений с п неизвестными хі, X2.....хп называется совокупность уравнений вида
йц*1 + 012*2 + •••+OlnJtn =Ьи
'QilXl + 022*3+ -¦• +O2nXn = Ь2,
,.,,,,,,.,.I1,,
amlxl + amlx2 + • < • + aHinXn=1 Ь,п,
,129 где a;J и 6,-_произвольные действительные числа. Число уравнений
в системе может быть любым и никак не связано с числом неизвестных. Коэффициенты при неизвестных с,у имеют двойную нумерацию: первый индекс і указывает номер уравнения, второй индекс /—номер неизвестного, при котором стоит данный коэффициент. Всякое решение системы понимается как набор (действительных) значений неизвестных (аі, а2, .. ., ап)> обращающих каждое уравнение в верное равенство.
Хотя непосредственное геометрическое истолкование системы (1) при п>3 уже невозможно, однако вполне возможно и во многих отношениях удобно распространить на случай произвольного п геометрический язык пространства двух или трех измерений. Этой цели и служат дальнейшие определения.
Всякий упорядоченный набор из п действительных чисел (0?, к2, . . . . . ., ип) называется п-мерным арифметическим вектором, а сами числа 0?, а2, . . ., ап — координатами этого вектора.
Для обозначения векторов используется, как правило, жирный
шрифт и для вектора а с координатами 0?, а2.....ап сохраняется
обычная форма записи:
