Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Аршинов М.Н. -> "Коды и математика (рассказы о кодировании) " -> 44

Коды и математика (рассказы о кодировании) - Аршинов М.Н.

Аршинов М.Н., Садовский Л.Е. Коды и математика (рассказы о кодировании) — М.: Наука, 1983. — 144 c.
Скачать (прямая ссылка): kodiimatematika1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 .. 50 >> Следующая


Н + 0 = [. .., -10, —5, 0, 5, 10, .
- 9, -4, 1. 6, П. .
// + 2 = {. — 8, —3, 2, 7, 12, ..
// + 3 = {. - 7, -2, 3, 8, 13, ..
H + 4 = {, ... - 6, -1, 4, з, 14, ,,

,24 Читатель сразу же заметит, что это классы вычетов б, I, 2, 3, 4 по модулю 5, Легко видеть, что всякий смежный класс Я+п совпадает с одним из этих пяти, и что классы эти не Пересекаются, Непосредственно видно также, что

2=(Я + 0) U (Я+1) U (Я + 2) U (Я + З) U (Я + 4).

Оказывается, то же самое верно для любой группы: если Hgi, Hg2, . , ,, Hgr— все различные (правые) смежные классы группы G по подгруппе Я, то

G = HglUHg2UlllIJHgr.

В случае, когда G и Я — конечные группы порядков m и п, из Последнего равенства вытекает, что m=n-r, А1ы пришли к следующей теореме Лагранжа *):

Порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

Мы привели здесь простейшие определения и фактц теории групп. За дальнейшими сведениями читатель может обратиться, например, к книгам [8], [9].

3. Кольца и поля

Часто приходится рассматривать множества, на которых определены две операции, например, различные числовые множества, множества многочленов, множества классов вычетов с определенными на них операциями сложения и умножения. Выделяя йе-которые свойства этих операций, общие для всех указанных множеств, мы приходим к еще одному важному алгебраическому понятию — понятию кольца.

Кольцом называется (непустое) множество К, на котором определены две операции (сложение и умножение), обладающие следующими свойствами:

1) множество К относительно сложения образует коммутативную группу;

2) умножение ассоциативно: для любых а, Ь, с

(ab)c=a(bc)\

*) Лагранж (1736—1813) — еєликнй французский математик; его труды по математическому анализу, механике и теории чисел имеют важнейшее значение для развития этих дисциплин. Лагранж — один из создателей дифференциального исчисления, классической теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления,

,125 3) сложение и умножение подчиняются дистрибутивному закону: (a-\-b) c = ac-\-bc, c(a-\-b) = ca-\-cb

для любых а, Ь, с ? К.

При этом множество К, рассматриваемое лишь относительно операции сложения, называется аддитивной группой кольца.

Приведем некоторые примеры колец.

1. Множество целых чисел с операциями сложения и умножения — кольцо целых чисел Z.

2. Множество многочленов от одного неизвестного с действительными коэффициентами с операциями сложения и умножения много-ЧЛЄН0І5 — кольцо многочленов R [Л].

3. Множество классов вычетов по модулю п с операциями сложения и умножения классов — кольцо классов вычетов %п.

Читателю предлагается проверить выполнимость аксиом кольца в каждом из примеров. Остановимся подробнее на примере 3.

Поскольку операции над классами вычетов сводятся к операциям над числами из этих классов, то свойства ассоциативности и коммутативности этих операций вытекают из аналогичных свойств числового сложения и умножения. То же замечание относится к свойству дистрибутивности. Роль нулевого элемента при сложении играет класс O. Противоположным элементом для класса вычетов гфй является класс п — г. Из определения сложения классов следует, что

Г+0П=?)=ЇЇ.

В общем определении кольца не содержится требование коммутативности умножения. В том случае, если умножение обладает этим дополнительным свойством, кольцо называется коммутативным. В примерах 1—3 мы имеем как раз коммутативные кольца, а позднее (в приложении 5) познакомимся с важным примером некоммутативного кольца.

Умножение в кольце, как и в группе, является ассоциативной операцией, но другие свойства группового умножения в кольце могут не выполняться, Правда, большинство важных колец содержат единичный элемент относительно умножения (скажем, кольца из примеров 1—3), но и такие кольца заведомо содержат элементы, для которых не существует обратного (необратимые элементы). В любом кольце необратим элемент О — нулевой элемент относительно сложения, так как доказывается, что он отличен от единичного и что для любого а?К имеет место:

0.(2=(2-0=0,

Как показывают примеры 1 и 2, необратимыми могут быть и ненулевые

,126 элементы. Так, в кольце целых чисел обратимы лишь I и -I1 всякое другое пфО в кольце Z не имеет обратного, так как 1 Itifcj1.

Рассмотрим таблицы умножения ненулевых элементов в кольцах вычетов Z4 и Z6.

Таблица 19


* 1 2 3
I 1 2 3
2 2 0 2
3 5 2 I

Таблица 20


1 2 3 4
1 T 2 3 4
2 2 4 1 3
В 3 1 4 2
4 4 3 2 1

Таблица 19 показывает, что в кольце могут существовать ненулевые элементы, произведение которых равно нулю: в Z4 2.2=0. Из этой же таблицы видно, что класс 2 необратим. Вообще, можно доказать, что ненулевые элементы, произведение которых равно нулю (называемые делителями нуля), всегда необратимы. С другой стороны, таблица 20 показывает, что в кольце Z5 всякий ненулевой элемент обратим. Кольца с этим свойством имеют особое значение. Примем такое определение.

Коммутативное кольцо с единицей, в котором всякий ненулевой элемент обратим, называется полем.
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 .. 50 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed