Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
198
Гл. 3. Регрессионный и корреляционный анализы
и РуХ1 .х . Эти статистики имеют 1 и га — 3 степеней свободы и определяются выражениями
4, •*,.(" -3) г\ {п~Ъ)
*4-*<.в-т^- и р>ч.-'.=-г±?--(3-3-5)
1 гух, -х, 'ух. -х,
1\ 'г 1г 11
Они используются для проверки гипотезы Н0: руХ1 .Х( = О и Н0: руХ{ .Х[ — 0 соответственно. Наконец, вычисляются частный коэффициент корреляции гух..Х( х. и значение /^-включения
рухгХ1х(г = Гухгх,х1ш (Л - 4)Д 1 - Гух^х^х^ (3-3.6)
для проверки гипотезы Н0: РуХ..Х(Х1 = 0 с 1 и п — 4 степенями свободы при I = 1, р, I Ф 1Ь I Ф 1а. Если все значения Р-вклю-чения меньше установленного минимума, то далее выполняется шаг Б. В противном случае происходит переход на шаг 3.
Шаг 3. а) Пусть ?^бозначает набор из.1 независимых переменных, которые включены в ^равнение~рёгрессии. Если какое-либо из значений Р-удаления для переменных из Ь меньше, чем соответствующий минимум, то переменная, которой соответствует.-наименьшее значетш^^цале^ия, удаляется из набора и выполняется цтгТ^ТЬУсГзаменой I на / — 1. Если для всех переменных, не входящих в Ь, значение /^-включения меньше установленного минимума, то выполняется шаг 5. В противном случае в набор Ь добавляется переменная, которой соответствует максимальдое^шачецие ^-включения, и / заменяется на / + 1. Ь] Вычисляются уравнение наименьших квадратов, таблица дисперсионного анализа и множественный коэффициент корреляции Гу.1 между У и переменными из Ь, а также значения /•'-удаления Рух между У и переменной Х( из Ь при заданных остальных I —¦ 1 переменных из Ь. Каждая из этих величин имеет 1 и л — I — 1 степеней свободы и используется для проверки гипотезы Н0: рух = 0. Наконец, определяются величина частного коэффициента корреляции гух..1 и значение /•'-включения между Рух .1 У и каждой переменной Хг, не входящей в Ь, при данных переменных из Ь. Эта статистика имеет 1 и п — I — 2 степеней свободы и проверяет гипотезу Но- Рухг1 — 0 для X,, не входящих В [, ! = 1, р.
Шаги 4, 5... Рекуррентно повторяется шаг 3. ШагБ выполняется а) если /•'-включения для всех переменных, не входящих в Ь, меньше установленного минимума, Ь) если для всех переменных из Ь значение /•'-удаления больше установленного минимума или с) число включенных переменных равно р.
3.3. Пошаговая регрессия
199
ШагЭ. CyiшapнaaJгaблш^4№нaтaexcя,.кaк.лpaвилQ, щ^щщсу пользойатедя^Для каждого шага печатается номер шага, номер включенных и удаленных переменных, значения F-включения и F-удаления и множественного коэффициента корреляции между Y и включенными переменными.
Пример 3.3.1. Проиллюстрируем применение пошагового регрессионного анализа, используя п = 141 наблюдение из примера 3.2.3, где Y — систолическое давление, измеренное методом компрессионной манжеты, а Хи Х2, Х3 — соответственно систолическое, диастолическое и среднее давления (в мм. рт. ст.), измеренные внутриартериальным методом. Положим, что значение минимума F-включения равно 0.01, а минимума F-удаления равно 0.005. Такие низкие значения пороговых величин приводят к тому, что_б_удет -вдшо.чена^п р акт^ш^^Ш1Ш^хщ>шеяаШ^-^АЫшя е кякои^либо переменной "возможно, ТОЛЬКО РГ.ПИ пня сильно KAppg-_Л2фoв^нJ_^^cтaльJДЫ^m^ Для__ш.аго»,--описашшх . выше, имеем;
Шаг 0. Простые коэффициенты корреляции суть ryXi = 0.871, fyx, ~ 0.778 и гуХг = 0.845, и соответственно для значения F-включения имеем FyXi — 436.8, Fyx, = 213.2 и РуХз = 347.0 с 1 и 139 степенями свободы. Так как все значения F-включения больше минимума, то переходим к выполнению шага 1.
Шаг 1. Так как наибольшее значение F-включения соответствует переменной Хъ она выбирается как наилучший предиктор для Y. Уравнение наименьших квадратов имеет вид: у == 8.08 + + 0.88^, а таблица дисперсионного анализа приведена ниже.
Источник Сумма Степени Средний
дисперсии квадратов свободы квадрат
Регрессия 88 731.0 1 88 731.0 436.8
Остаток 28 240.4 139 203.2
Полная 116 971.4 140
_
Множественный коэффициент корреляции есть гу.Хх = 0.8710, а F-yдaлeниe имеет значение 436.© с 1 и 139 степенями свободы. Частными коэффициентами корреляции служат гЦХг.Хх = 0.178 и гук х = 0.206, а соответствующие значения Р-включения суть Рих..х. = 4.49 и FІГXз.Xl — 6.12 с 1 и 138 степенями свободы. Так как оба значения Р-включения больше минимума, то выполняется шаг 2.
Шаг 2. Так как переменная Х9 имеет наибольшую величину Р-включения, то она выбирается как наилучший предиктор У при
200
Гл. 3. Регрессионный и корреляционный анализы
заданном Хх. Уравнение наименьших квадратов имеет вид: у = = 7.93 + 0.63а:х + 0.37а:3. Ниже приводится соответствующая таблица дисперсионного анализа
Источник дисперсии Сумма квадратов Степени свободы Средний _ квадрат г-отиошеиие
Регрессия Отклонение от ре- 89 931.1 27 040.3 2 138 44 965.6 229.5 195.9
грессии
Полная 116971.4 140
Множественный коэффициент корреляции гу.Х1Хг равен 0.8768, а значения Р-удаления суть соответственно РуХ1.х, = 32.6 и /V,.*, = 6.12 с 1 и 138 степенями свободы. Для частного коэффициента корреляции имеем гУХг.Х1Хл = —0.035, а для значения
