Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
3.2. Множественная линейная регрессия н корреляции
185
= [i\ цРУ и матрицей ковариаций размерности (р + 1) X X (р + 1)
ау °у\ <*у2
°УР °1р
'2р
'1р
Чтобы получить уравнения для определения коэффициентов регрессии р\, рр и множественного коэффициента pu.Xl...x корреляции, запишем Z в виде составного вектора Z = (У, X')', где X = (Хи ХРУ — вектор размерности (р X 1) X 1. Вектор средних значений и ковариационная матрица аналогичным образом разлагаются на части, т. е. Е (Z) = (u^, \х'х)', где \хх = = \1ру и
Стц 2„
Подматрицы 2^, 2хг/ и 2„ имеют размерности 1 X р, р X 1 и. р У- р соответственно. Заметим, что Ъ'ух = 2^. Таким образом,, условное распределение У при заданном значении X = х является, нормальным со средним
... хр= У'у + Р (х - гДе Р = 2^2ад,
и дисперсией а2 = а2, — 2^2*^2^. Отсюда следует, что
Рух1 ... хр= У^ух^хх^ху /Оу,
или, что эквивалентно,
Р*-*1-*Р = 1^Р'2«р/(гр.
Последнее выражение определяет соотношение между коэффи" циентами регрессии и множественным коэффициентом корреляции* Переходя к частному коэффициенту корреляции р/й.с, перенумеруем переменные X* так, чтобы с = {Хи Определим случайные векторы = (/, /г)' размерности 2x1 и \?2 = = (Хи размерности к X 1. Вектор имеет двумерное нормальное распределение с вектором средних Е (\Уг) = (и.;, и ковариационной матрицей
186
Гл. 3. Регрессионный и корреляционный анализы
Аналогичным образом распределение \?2 есть ^-мерное нормальное с вектором средних значений Е (\У2) = (|л1( ц,к)' и матрицей .ковариаций
0*п
• т
Olk Сги. "'
Определим теперь 2 х к- матрицу ковариаций между Wt и W2:
У»! ^»2
:При этом ЕШ1Шг = Sa
Условное распределение \?х при фиксированных значениях элементов \?2, например, \*^2 == ю2, будет двумэрным нормальным с вектором средних значений
Е 0?х) + 2!Ш11В,2^Ш, («г2 - ? (\?2)),
который называется условным математическим ожиданием УМг при заданном значении \?2 = \у2 и ковариационной матрицей
_г _ " О].с ОШ.0
|_ °1г-с
Теперь частный коэффициент корреляции можно записать в виде
Пусть теперь для получения оценок множественного и частного коэффициентов корреляции имеется выборка случайных векторов гг — (У(> хи> • ••> хРгУ, I = 1. п- Оценкой максимального правдоподобия для Е (1) будет вектор
п
2 ~~ ~п ^
а несмещенной оценкой для 2г — матрица
ч — 1 1=1
S,2 S
»у2
'lp
3.2. Множественная линейная регрессия и корреляции 187
Несмещенные оценки 2.„, 2^ и Ъух получаются разбиением матрицы^», на блоки, подобно матрице 2,. Обозначим соответствующие оценки через 8„, и Бух. Заметим, что
8„=1/(м-1)А,
где А определена в замечании 3.2.1.3. Итак, Ь = Б^Б*,,, а выборочный множественный коэффициент корреляции равен
гу-х1 ... хр = ^ух^хх^ху 15у.
Для получения оценки частного коэффициента корреляции определим матрицы 8Ш1Ш1, 5ш,1Ш,г и 8Е,2[?,2 таким же образом,, как и их аналоги для популяции, заменяя соответствующие параметры выборочными дисперсиями и ковариациями. Тогда оценка частного коэффициента корреляции имеет вид
Пример 3.2.3 (продолжение). Поскольку в этом примере предполагается, что выборка получена по второму типу, т. е. все переменные считаются случайными, целесообразно оценить множественные и частные коэффициенты корреляции между переменной У, равной систолическому давлению, измеренному методом манжеты, и переменными Хи Х2 и Хя, равными соответственно систолическому, диастолическому и среднему давлениям, измеренным, прямым внутриартериальным методом.
Для оценки множественного коэффициента корреляции воспользуемся таблицей дисперсионного анализа, что дает г\.Х1Х1Х% = = ББс^т = 89963/116971 = 0.769, гу.Х1Х,х, = //'0/769 = 0.877,. т. е. три величины давления Хх, Х2 и Х3, измеренные внутри-артериальным методом, объясняют 76.9 % дисперсии У.
Ранее проверка гипотезы Н0: ру.Х1Хгх3 = 0 была проведена; с помощью проверки эквивалентной гипотезы Н0: р\ = В3 = В3 = = 0. (Эта гипотеза была отвергнута, так как Т7 = 152.) Однако равным образом можно воспользоваться и статистикой (3.2.22), с п = 141 и р = 3, что дает
141 —3 — 1 0.769 _ . -0 З1, " 1 -0.769 —
Программой была выведена на печать и величина частного коэффициента корреляции между У и Х2 при заданных значениях Хх и Х3, именно, гуХг.Х1Хз = —0.035 и гуХ2.Х1х3 = 0.00123. Следовательно, когда значения Хх и Аффиксированы, Х.2 объясняет менее 1 % дисперсии У. Проверка значимости вклада переменной Хй. в предсказание У ранее осуществлялось с помощью проверки эквивалентной гипотезы Н0: В2 = 0. Так как Т7 = 0.17, то гипотеза
188
Гл. 3. Регрессионный и коррелиционный анализы
В0 принималась. С другой стороны, можно воспользоваться статистикой (3.2.25) с I = У, /г = X, и с = \Хи Х3\, что дает
г = ~°-0351^141 -2-2 = _0 41
~ vi — (—0.035)2 ~~
Гипотеза Я0 снова принимается.
Используя замечание 3.2.5.4, можно получить значение гуХг.Х1Хл из простых коэффициентов корреляции следующим образом. Полагая, что / = У, И = Х2, с = Хх и й = Х3, имеем
= 0.845 —0.871 (0.927) Гух,-Х1— у 1 _ (0 8?1)2 у 1 _ (0 927)2
