Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ - Афифи А.
Скачать (прямая ссылка):
<УХп
¦ = 11\/~Р + п — р — \* т=1, ...,/>. (3.2.23)
С другой стороны, если в выходных данных приводится значение Р-статистики (3.2.11) для проверки этой же гипотезы, то
УХ„
= ±-У РЛ-п-р-Х ¦ т = 1,..:,р. (3.2.24)
Знак оценки частного коэффициента корреляции должен совпадать ¦со знаком оценки соответствующего коэффициента регрессии Ьт.
3.2. Множественная лннейнан регрессии и корреляции 183*.
С помощью программ регрессионного анализа можно оценить, например, следующие частные корреляции: а) между У и Хт при фиксированных значениях некоторого подмножества из к переменных, выбранных из р — 1 оставшихся переменных (& < <С р — 1); Ь) между Хх и Х% при фиксированном значении У,. а также и любые другие коэффициенты частной корреляции. Для этого необходимо лишь изменить порядок переменных, переопределить независимую переменную и номера зависимых переменных.
Рассмотрим теперь различные способы получения оценки произвольного частного коэффициента корреляции. Пусть"/ и к — пара переменных из У, Хъ Хр> ас — непустое подмножество из оставшихся переменных. Оценку для р^-с обозначим через Гц,(. Тогда некоторые методы получения какой-либо или всех оценок таковы:
1. Применение программы частной корреляции из какого-либа ПСП.
2. Ручное или программное вычисление соответствующего коэффициента с помощью рекуррентного соотношения, приведенного в замечании 3.2.5.4. Начальные значения — простые коэффициенты корреляции, содержащиеся в выходных данных программ множественной линейной регрессии или дескриптивных программ.
3. В разд. 3.3 будет рассмотрена процедура пошаговой регрессии, которая вычисляет уравнения множественной линейной регрессии по шагам. На каждом шаге возникает некоторое подмножество с независимых переменных, входящих в уравнение регрессии, и при фиксированных значениях переменных из с вычисляются коэффициенты частной корреляции между У и каждой независимой переменной, не входящей в уравнение регрессии. Поскольку имеется возможность принудительно включить в уравнение регрессии перед началом отбора произвольное подмножество переменных (замечание 3.3.1.4), то, используя эти программы, можно получить, все частные коэффициенты корреляции между У и оставшимися переменными при фиксированных значениях переменных из с.
Частные коэффициенты корреляций используются в следующих целях. Во-первых, коэффициент Гухт'С где с есть подмножество, всех р — 1 независимых переменных, исключая Хт, т = 1, р, есть мера линейной зависимости У от Хт после вычитания эффекта, обусловленного зависимостью этих переменных с переменными из с. Чем ближе абсолютная величина этого коэффициента к 1, тем сильнее зависимость. Проверка гипотезы о том, что при фиксированных значениях переменных из с обусловленный Хт вклад в предсказание У незначим, т. е. Н0: рУхтс = 0, эквивалентна проверке гипотезы Н0: Вт = 0. Для проверки последней можно применить либо /•'-критерий (3.2.11), либо ^-критерий (3.2.12). Во-вторых, коэффициент Гухт-с где с — некоторое подмножество
184
Гл. 3. Регрессионный и корреляционный анализы
& •< р — 1 независимых переменных, есть мера «качества» Хт для предсказания У после вычитания эффекта независимых переменных из с. Следовательно, сравнивая значения гуХт.с для всех Хт, не входящих в с, можно упорядочить независимые переменные по их важности для предсказания У относительно с. Как будет показано в разд. 3.3, таким образом отбираются переменные в пошаговой процедуре.
Вообще для проверки гипотезы Н„: р№.е = 0 можно использовать статистику
г = {г1Н.еV п-к-2)1У\-г1н.с, (3.2.25)
где к — число переменных в наборе с. Если Я0 истинна, статистика имеет /-распределение Стьюдента с п — & — 2 степенями свободы. Для проверки гипотезы Я0: рш-с = Ро> гДе Ро — заданная постоянная, можно воспользоваться преобразованием Фишера, заменив простой коэффициент корреляции в выражении (3.1.33) частным. Дисперсия теперь будет равна
а2= \/(П-к-3). (3.2.26)
Это значение подставляется в формулу (3.1.36) для вычисления статистики критерия г. Соответствующий 100(1—а) %-ный доверительный интервал для р/п.е, можно также получить, используя либо преобразование Фишера, либо, заменив п на п — к, посредством номограммы в табл. 9, приложение П.
Наконец, квадрат частного коэффициента корреляции га,.с есть доля дисперсии переменной /, объясненная А после удаления эффекта переменных из с.
Замечания 3.2.6. 1. Имеет место следующее равенство:
где в2 — остаточный средний квадрат М5К из таблицы дисперсионного анализа 3.2.1, а я2—оценка дисперсии У.
2. Простой коэффициент корреляции между наблюдаемыми значениями уг и предсказанными уи I = 1, п, эквивалентен
Выборочному множественному Коэффициенту КОрреЛЯЦИИ Гу,^,^ .
3. Так как множественный коэффициент корреляции инвариантен относительно невырожденных преобразований, его оценки, полученные для исходной «центрированной» и «стандартизованной» моделей, равны.
* 4. Используем теперь матричные обозначения. Пусть Ъ = = (У, Хи ХРУ—вектор случайных переменных размерности (р + 1) X 1. Предположим, что этот вектор имеет многомерное нормальное распределение с вектором средних значений Е (2) =
