Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 13. Гомология алгебраических систем
Для групп, моноидов, абелевых групп, алгебр и градуированных алгебр мы уже определили подходящие группы гомологий и когомологий. В каждом случае руководящей идеей служило то, что вторая группа когомологий представляет группу расширений (с данными операторами) для рассматриваемого типа алгебраических систем: см. теорему IV.4.1 для групп, упражнение 12.4 для абелевых групп и теорему 3.1 для алгебр. Элементы третьей группы когомологий представляют препятствия для соответствующей задачи расширения: см. теорему IV.8.7 для групп и работу Хохшильда [1947] для алгебр. Типичные комплексы, используемые для построения таких гомологических теорий, были описаны с помощью понятия «общей ацикличности» (Эйленберг — Маклейн [1951 ]). Здесь мы упомянем о различных других алгебраических системах, для которых были развиты соответствующие гомологические теории.
Двумерная теория когомологий для колец оперирует с двумя системами факторов: одна система для сложения, другая — для умножения. Пусть А — абелева группа, рассматриваемая как кольцо (без единицы), в котором произведение любых двух элементов равно нулю. Пусть R — кольцо. Сингулярным расширением А с помощью R называется короткая точная последовательность А >* S -» R кольцевых гомоморфизмов х но, в которой S — кольцо с единицей ls и als = 1н. Будем считать А таким двусторонним идеалом в S, что S/A = R. Для каждого х ? R выберем представитель и(х) ? S : ои (х) = х. Тогда А превращается в Я-бимодуль с операторами ха — и (х) а, ах — аи (х), не зависящими от выбора представителей и. Сложение и умножение в S определяются двумя такими системами факторов fug, что
Эти функции fag удовлетворяют различным тождествам, которые отражают ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный законы для 5 (Эверетт [1942], Редей [1952], Сендреи [1952]). Теперь можно построить (Маклейн [1956]) такую теорию когомологий для кольца R, что в группе Я2 (R, А) указанные пары функций fag являются коциклами, а когомологические классы представляют расширения А с помощью R. Часть соответствующей трехмерной :
u(x) + u(y)-f(x, у) + и(х+у), и (х) и (у) = g (х, у) + и (ху).
(13.1)
(13.2)
§ 13. Гомология, алгебраических систем
403
группы когомологий Я3 (R, А) в точности отвечает препятствиям для задачи о расширении кольца Т (без единицы, но не обязательно с нулевым умножением) с помощью кольца R. Эти результаты можно приложить также к пучкам колец (Грей [1961а, Ы).
Шукла [1961] распространил эту когомологическую теорию со случая колец (Z-алгебр) на случай алгебр А над произвольным коммутативным кольцом К. Получающаяся теория когомологий алгебр более тонка, чем теория когомологий Хохшильда, так как в теории Хохшильда систематически используются только К-рас-щепляющиеся расширения, в то время как в рассматриваемом случае использование системы факторов (13.1) для сложения отражает именно тот факт, что исследуемые расширения не расщепляются аддитивно. Теория Шуклы построена так, что каждый элемент из Я3 соответствует препятствию. Харрисон [19621 начал развивать теорию когомологий для коммутативных алгебр над полем.
Алгёбра Ли L над кольцом К — это К-модуль вместе с таким К-модульным гомоморфизмом х у -г [х, у] из L (%) L в L, что выполнены тождества
[х, х] = 0, [х, [у, z]] + [y, [z, x]] + [z, [х, «/J] = 0,
типичный пример можно построить, введя в ассоциативной алгебре Л новое умножение [х, у] = ху — ух. Обратно, каждая алгебра Ли L определяет пополненную ассоциативную алгебру Le, как факторалгебру тензорной алгебры Т (L) модуля L по идеалу, порожденному в Т (L) всеми элементами вида х ® у — у ® х —
— [х, у], х, у?Ь. Алгебра Le называется обертывающей (ассоциативной) алгеброй алгебры L. Гомология и когомология алгебры L теперь определяются для модулей Gif и LeC следующим образом:
Нп (L, G) = ТогГ (G, К), Нп (L, С) - Ext? (К, С),
хотя, как и в случае алгебр, возможно, более подходило бы использование относительных функторов Тог и Ext для пары (Iе, К). Эта теория развита Картаном и Эйленбергом в гл. XIII; см. также Джекобсон [19621. В случае, когда К — поле, теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта может быть использована для альтернативного описания этих групп когомологий и гомологий в терминах стандартного комплекса, строящегося прямо с помощью лиева умножения в L. В действительности этот подход был первоначально использован в первых исследованиях по когомологии алгебр Ли (Шевал-ле — Эйленберг [1948], Косуль [1950Ы). Двумерная группа когомологий Я2 (L, С) соответствует К-расщепляющимся расширениям алгебр Ли (Картан — Эйленберг, XIV.5). В некоторых случаях элементы трехмерной группы когомологий H3(L,C) являются препятствиями для задачи о расширении (Хохшильд [1954]).
26*
404
Г л. X. Когомология алгебраических систем
Аналогичные результаты применимы в случае аналитических групп Ли (Маколей [19601) и тройных систем Ли Шмагути 11960], Харрис [1961]). Ри [1958] применил перестановочные умножения для алгебр Ли.
Когомология колец имеет дело с системами факторов для сложения и умножения. Возможно точно так же построить когомологию колец Ли; группа Я2 будет включать системы факторов для сложения и лиева умножения. Подобная теория была начата Дик-смье [1957]; нужно надеяться, что дальнейшие исследования смогут упростить его формулировку.
