Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Назовем Л редуцированным модулем для А, а р: А А = A/JA его проекцией. {/-модуль А подобен «расслоенному пространству» с «группой» (/, действующей на А, и «базой» А, полученной «отделением» действия U. Соответствующим аналогом ацикличного расслоенного пространства является «конструкция». (Предостережение: эта терминология не согласуется с терминологией Картана [1955].)
Конструкция для U — это пополненный левый U-модуль ес: С —>-8К, который имеет DG-модульную стягивающую гомотопию с квадратом, равным нулю. Эту гомотопию можно записать в виде
^-i '• К — > С, tn : Сп —> Сп+1, п ~> 0;
здесь /_i — морфизм DG-модулей, t = {tn \ п>0} есть гомоморфизм градуированных К-модулей степени 1 и
ect- i=l, dt+td=\-t-lec, «_! = 0 = «. (10.1)
Конструкция С относительно свободна, если существует градуированный К-модуль D и изоморфизм U <g> D ^ С модулей над градуированной алгеброй U. Определение редуцированного модуля С принимает вид
С ^ КЕ ® и (U ® D) = (Ке ® v U) ® D = К ® D = D;
следовательно, D можно отождествить с С, так что конструкция относительно свободна, если существует изоморфизм
y:U ® С^С (модулей над градуированной алгеброй U).
Повторим: ф коммутирует с операторами и 6 U, но не обязательно коммутирует с дифференциалом. Кроме того, проекция р : С -*¦ ->С = C/JC из предложения 10.1 дается формулой pip (и <g> с) = = е (и) с. Следовательно, отображение i (с) = <р (1 ® с) является мономорфизмом i : С->С градуированных К-модулей, а про извет дение pi равно единице С С. Мы можем и будем использовать i для отождествления С как градуированного К-модуля (но не как DG-модуля) с подмодулем модуля С.
§ 10. Резольвенты и конструкции.
389
Теорема 10.2. Конденсация является ковариантным функтором из категории Ж -расщепляющихся резольвент X модуля еК, состоящих из U-модулей, в категорию конструкций X* для U. Если резольвента X относительно свободна, то относительно свободна конструкция X*.
Доказательство. Пусть ex'- X -*¦ еК является резольвентой, состоящей из {/-модулей Хр. Если пренебречь частью структуры, то каждый tZ-модуль Хр можно считать DG-монулем, т. е. положительным комплексом. При этом же условии X можно рассматривать как комплекс комплексов, имеющий конденсацию X* = = V Lp (Хр), которая является DG-модулем относительно граничных гомоморфизмов д’, д" и д* ~ д’ + д". Но если А есть (/-модуль, то и L (Л) есть (/-модуль с операторами и (tm)~(—l)deeu/ (нт). Следовательно, Ьр(Хр) есть (/-модуль с . дифференци алом д", а д’: L9 (Хр) -> Ьр-г (Xp_i) есть отображение (/-модулей степени—1, так что, записывая как ди, u?U, результат дифференцирования в U, имеем
д" (их) = (ди) Х + (- 1 )deguи (д"х), d'(ux) = (-\ftsuu(d’x).
Пополнение ех резольвенты X конденсируется в пополнение е*: X* еК. Стягивающая гомотопия в X (существующая, так как резольвента X М-расщепляется) конденсируется по предложению 9.2 в стягивающую гомотопию s* в X*, квадрат которой равен нулю. Эта гомотопия s* удовлетворяет соотношениям, аналогичным (10.1); в частности,
d's* + s*a'=l-sl1e*, , dV+s*d" = 0. (10.3)
Если резольвента X относительно свободна, то каждый комплекс Хп имеет вид U 0 Мп для некоторого DG-модуля Мп. Поэтому Lv (Хр) ^ U 0 LP (Мр), так что X* ^ U 0 V Lv (Мр), что показывает относительную свободу X*.
Теперь мы конденсируем каноническое сравнение (теорема IX.6.2).
Теорема 10.3. (Теорема сравнения.) Если X -*¦ 8К есть относительно свободная резольвента, и У ->(К есть м-расщепля-ющаяся резольвента, обе состоящие йз U-модулей, то существует единственный гомоморфизм <р: X* -*¦ Y* пополненных U-модулей, для которого
tpX* cz siiK и s*Y*, где s* — стягивающая гомотопия в Y*.
390
Гл. X. Когомология алгебраических систем
Доказательство проводится, как в (IX.6.1); роль подмодуля еМ из X здесь играет X* с X*.
Левая В-резольвента В (U) является еМ-расщепляющейся резольвентой 8К, состоящей из относительно свободных левых {/-моду-лей, так что конденсация В* (U) есть конструкция, называемая В-конструкцией. Именно, В* (U) — это градуированный К-модуль
2 U®Lv ((U/K)v); будучи тензорным произведением, этот модуль порождается элементами, которые мы запишем в обычной форме как
u{ui \,.. |Up\* — и <g) («i-j-К) <g> ... ® (Up-j-K),
где и и щ ? U. Ввиду нормализации этот элемент равен нулю, если один из элементов щ принадлежит К. Степень такого элемента определяется равенством
deg (и [Ui |... | ыр]*) = р + deg и + deg щ Ч-\- deg ир; (10.4)
элемент умножается на и' ? U путем умножения на и' его первого множителя. Пополнение задается формулой
е|(ы[ ]*) = &(ы), (10.5)
а стягивающая гомотопия действует так: s_t (1) = 1 [ ] * и
s*(«[«!)]... |Ир]*) = 1 [и\щ\... |«p]*, р > 0. (10.6)
Из условия нормализации следует, что s*s* = 0. Формулы для двух граничных гомоморфизмов д' и д" очень легко находятся из формул для s* рекурсией по р с использованием (10.3) и (10.2); они таковы:
