Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
е (0 = S (deg[иг]) (deg[w^]),/(г) >^(р + /), i<p, /<?. (12.5)
Этот знак в точности регулируется правилом коммутирования, поскольку сумма берется по всем таким парам индексов (t, /), для которых элемент щ степени deg [иг] ставится после элемента vj степени deg [t^I.
Теорема 12.2. Каноническое сравнение g (12.1) определяется для элементов bi и Ь2 из В (U) и В (V) соответственно формулой
g [(Ubi) 0(vb2)] = ( - 1 )<«es 0 * b2).
Доказательство. Эта формула подсказана равенством
(12.3). Ею, очевидно, задается гомоморфизм модулей над градуиро-
400
Гл. X. Когомология алгебраических систем
ванной алгеброй U®V, который переводит В (U) ® В (F) в В (U ® V) и поэтому является каноническим сравнением. Доказательство завершается проверкой того, что dg = gd. Это можно сделать непосредственно, используя определения g и д = д* =
— д' + д" для В-конструкции. Мы оставляем детали читателю или отсылаем к работе Эйленберга и Маклейна [1953 Ь], где доказательство сформулировано в терминах рекурсивного описания перета-совочного умножения *.
Заметим, что формула (12.4) вместе с равенством (12.3), записанным в виде
(Uih) *{иф2) = (- 1 )(degu.)(deg Ы) ,Ь2),
полностью определяет умножение в В (U). Например 4
[и] * [о] = [U I V] + ( — 1 )<»+** U)(l+deg v) [у |
а также
[U] * [V I W] = [и | V | ш] + [о | и |а>] ± [О I W | и] при очевидной «перетасовке».
__ Следствие 12.3. Если алгебра U коммутативна, то алгебра
В (U) строго коммутативна,
Доказательство^ Пусть b = [ «41 . . . | ир]. Каждый член в произведении b * b встречается дважды для двух перетасовок t и f, где
е (t) + е [Г) = 2 (deg [щ]) (deg [и}]) = (deg bf. i, i
Когда deg b — нечетное число, то знаки противоположны, так что b* b = 0, что и требуется для строгой коммутативности.
Существенное замечание состоит в том, что каждая коммутативная DGA-алгебра U порождает коммутативную DG^4-алгебру В (U), чго позволяег итерированием образовать коммутативную DGyl-алгебру ВЛ (U) для каждого положительного п. Это приводит к «-степенной когомологии (или гомологии) алгебры U с коэффициентами в К-модуле G:
Hh (U, я; G) = Hk (Horn (Вп (V), G)).
В частности, ойисанное построение применимо в том случае, когда U = Z (П) — групповое кольцо коммутативной мультипликативной группы П. Причем «-степенные группы гомологий и когомоло-
§ 12. Когомология коммутативных DGA-алгебр
401
гий этой группы П с коэффициентами в абелевой группе О таковы:
Я* (П, л; G) = Я* (G ® Вп (Z (П))), (12.6)
Я* (П, я; G) = Я* (Hom(Bn (Z (П)), G)); (12.7)
при л = 1 они совпадают с группами гомологий и когомологий группы П, рассмотренными в гл. IV. Заметим, что надстройка S:Bn-+Bn+1 из (11.5) дает гомоморфизмы
•S*: Яп+Р (П, п; G) -> Яп+1+р (П, n+l;G), (12.8)
s* . Яп+1+р (П, я-)-1; G) -> Яп+р (П, п; G). (12.9)
Прямой предел групп Нп+Р (П, п; G) относительно отображений S* определяет другое множество «стабильных» групп гомологий Яр (П; G) для абелевой группы П. Они были изучены Эйленбергом и Маклейном [1951, 1955].
Для произвольного п группы Hh (П, п; G) имеют топологическую интерпретацию в терминах так называемых пространств Эйленберга — Маклейна К (П, п). Здесь К. (П, п) — это топологическое пространство, единственной ненулевой группой гомотопий которого является группа п„ = Пв размерности п. Можно доказать (Эйленберг — Маклейн [1953b]), что существует естественный изоморфизм
Я*(К(П, я), G)^Hk(П, n; G);
имеется соответствующий результат для гомологии.
Точные вычисления этих групп можно эффективно провести, используя итерированные альтернативные резольвенты X, выбранные так, чтобы в X имелась структура алгебры (Картан [1955])
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что образ стягивающей гомотопии в В (U) ® В (К) строго содержит В (U) ® В (У).
2. Доказать теорему 12.1 с помощью явной формулы для умножения *.
3. Показать, что Вп (Z (П)) есть нуль в размерностях, заключенных между 0 и п, и, значит, Нр (П, п; G) = 0 = Нр (П, п; G) для 0 < р < п.
4. Показать, что Нп (П, п; G) в Нот (П, G) при л> 1 и что Я"+! (П, п\ G) е Exti (П, G) при л>2,
5. (Теорема о надстройке. Эйленберг — Маклейн, [1953 Ь, теорема 20.4].) Для р < п показать, что S* и S* из (12.8) и (12.9) — изоморфизмы, в то время как S* — мономорфизм, a S* — эпиморфизм для р — п. (Указание: сравнить комплексы Bn+1 (U) и Вп (U) в указанных размерностях.)
6. Пусть X -+¦ ЕК — любая К-расщепляющаяся относительно свободная резольвента, записанная как X = U ® X в согласии с теоремой 10.2, 26—353
402
Гл. X. Когомология алгебраических систем
и пусть отображение j : V -*• X задано формулой / (и) — и 0 1 (в предположении, что 1 ? U — Х0). Показать, что произведение psj : U -*¦ X, где s — стягивающая гомотопия, дает надстройку.
7. Для любой резольвенты X из упражнения 6 найти умножение XQ&X -+¦ -*¦ X, ассоциативное с точностью до гомотопии.
