Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 2.4. (Последовательность Г изина.) Еслиf : Е В— расслоенное пространство с односвязной базой В и слоем F, являющимся k-мер ной сферой Sh с k > 1, то существует точная последовательность
¦ ¦ —> Нп (Е) Д Нп (В) ^ Яп_*-1 (В) Hn_i (?)->••..
Доказательство. Поскольку Нч (F) = Hq (Sh) — 0 для q Ф 0, k, член Е2 таков:
Ер, g = Hp(B), q = 0, q = k; E%, q = 0, qФ 0,/г.
Спектральная последовательность лежит в этом случае на двух горизонтальных прямых q = 0 и q = k; единственный ненулевой
§ 3. Фильтрованные модули
415
дифференциал — это dk+1, и мы получаем две точные последовательности
О EZ о —> El о-------> El-k-U -> Еп-ъ-и к -> О,
О EZ-h-i,h+, -> Я„(?) -> Еп, о О,
соединение которых и дает последовательность, указанную в теореме.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если / : Sm -> Sk есть послойное отображение, к ^2, и слой есть
сфера S1, то доказать, что должно быть т = 2к — 1 я I = к ~ 1 (для к = = 2, 4 и 8 действительно существуют такие послойные отображения; они являются расслоениями Хопфа; Хопф [1931, 1935], Стинрод [1951],
Ху Сы-Дзян [1959, стр. 66]).
В следующих трех упражнениях /: ? -*¦ В — расслоенное пространство с линейно связной и односвязной базой В и с линейно связным слоем F.
2. Пусть Hj(F) = 0 для 0 < / < t и Яг (В) = 0 для 0 < i < s. Получить точную последовательность
Hs+t-i (F) -> Я8+г_! (Е) -> Я6+г_! (В) -> Яв+,_2 (F) ...
... Н2 (В) -> Ht IF) -» Hi (?) -> (В) 0.
3. Если (В) = 0 для всех г > 0, то доказать, что Я„ (f) es Нп (Е) для всех п.
4. Пусть Hj (F) = 0 для всех /> 0. Доказать, что Яп (?) Яп (В) для всех и.
5. Для" спектральной последовательности Лерэ — Серра Е и поля Q рациональных чисел определить спектральную последовательность Е' =
= Q ® Е векторных пространств над Q и показать, что ?^ д=Яр (В, Q) ® ®Яв(/\ Q) и Ep°:g=H'P'4/H'p_lt где Я' появляются в башне, подобной башне (2.1), но Нп (?) заменено на Я„ (?, Q).
§ 3. Фильтрованные модули
Фильтрацией F модуля Л называется такое семейство подмодулей FPA, по одному для каждого р ? Z, что
... с f Р_И с FpA с: Fp+i Л сг ... . (3.1)
Каждая фильтрация f модуля Л определяет ассоциированный градуированный модуль GFA = {(GM)P = FpAIFp_iA}, состоящий из последовательных фактормодулей башни (3.1). Если F и F' — фильтрации модулей Л и Л' соответственно, то гомоморфизм а : Л ->¦ ->Л.' фильтрованных модулей — это модульный гомоморфизм, обладающий тем свойством, что a (FPA) cz F'pA'. Фильтрация F дифференциального Z-градуированного модуля Л — это семейство DGz-подмодулей FPA, подобное семейству (3.1), а гомоморфизм
416
Гл. XI. Спектральные последовательности
определяется соответствующим образом. Эта фильтрация индуцирует фильтрацию в Z-градуированном модуле гомогологий Я (Л), где Fp (Я (Л)) определяется как образ Я (FPA) при вложении FPA —>" Л. Поскольку модуль Л сам Z-градуирован степенями п, фильтрация F модуля определяет фильтрацию FpAn каждого модуля Ап, а дифференциал модуля Л индуцирует гомоморфизмы д : РрАп
FрАп _ 1 для каждого р и каждого п. Семейство {FPA„}—это Z-биградуированный модуль. Привычно и удобно записывать индексы градуировки как (р, q), где р — степень фильтрации и q = = п — р — дополнительная степень; тогда наш Z-биградуированный модуль принимает вид {FpAp+q}. Мы будем использовать запись «FDGz-модуль» для сокращения термина «фильтрованный дифференциальный Z-градуированный модуль».
Говорят, что фильтрация FDGz-модуля Л ограничена, если для каждой степени п существуют такие целые числа s = s (п) < t = = t (л), что FsAn — 0 и FtAn — Ап¦ Это условие равносильно требованию о «конечности длины» п фильтрации для каждого А„ :
О = FsAn cz Fs+iAn с ... с FtAn = Ап.
Говорят, что спектральная последовательность {??, dr} схо-
р
дшпся к градуированному модулю Я (обозначение: Е% =#> Я), если существует такая фильтрация F модуля Я, что для каждого р имеет место изоморфизм ?” a* FpHIFp_iH градуированных модулей. Здесь Егр при заданных г и р обозначает Z-градуированный модуль Егр = = {ЕР) q, q = 0 ± I, .. .} (градуированный дополнительной степенью q).
Теперь можно определить ассоциированную спектральную последовательность фильтрации.
Теорема 3.1. Каждая фильтрация F дифференциального Z-градуированного модуля А определяет спектральную последовательность (?г, dr), г = 1, 2, . . ., которая является ковариант-ным функтором пары (F, А), вместе с естественными изоморфизмами
?^Я (FpAIFp_iA); т. е. Е\, q as Hp+q (FpA/Fp_iA). (3.2)
Если фильтрация F ограничена, то Е%=$ Н (Л); более точно, имеют место естественные изоморфизмы
Ер a* Fp (HA)IFp_l (НА), т. е. Ер, q Fp (Нр^А)/Р^ (Hp+qA) .(3.3)
Для доказательства введем подмодули
Zp = [a\a?FpA, da?Fv_rA], r~ 0,1,..., (3.4)
§ 3. Фильтрованные модули
417
модуля FPA. Элемент из ZTV можно рассматривать как «приближенный цикл уровня г»: его граница может не быть нулевой, но лежит на г шагов ниже в фильтрации. В частности, Zp = FPA. Каждый подмодуль Zp Z-градуирован степенями из А, так что мы можем рассматривать Г как биградуированный модуль, у которого
