Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
592______________ГЛ. VII.2. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА ТВЕРДЫХ TEJj'
^Ni = N (VII.2.2.2°). Условие малости вырождения имеет вид
І
по h3 (2nmkT)s/2 ^ lf
где «о — концентрация частиц, т — масса частицы, k — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка, T — термодинамическая температура.
3°. Температурой вырождения Tb называется температура, при которой вырождение становится существенным (п. 1°). Она определяется из условия
n0hs h2n%/z
(2птЬТ^ - откУда ГВ-SJ.
Температурный критерий вырождения: T < Tb — система частиц вырождена, T > Tb — система частиц не вырождена, и ее поведение описывается классическими законами.
Например, для водорода при нормальных условиях (T =
= 300 К и п0 =“ 3 • IO25 м-3) параметр вырождения А « 3 • IO-5 <sC
1. Температура вырождения для водорода Tb ~ 1 К. Для всех остальных газов, более тяжелых, чем водород, А еще меньше. Газы при нормальных условиях не бывают вырождены. Вырождение, связанное с квантовыми свойствами газов, проявляется значительно меньше, чем отклонение газов от идеальности, вызванное межмолекулярными взаимодействиями. Фотонный газ всегда вырожден и описывается квантовой статистикой Бозе—Эйнштейна (VII.2.2.6°).
4°. Электроны в металлах являются примером вырожденного газа. В обычных условиях щ ~ (1028 -i- IO29) м~3. Так как масса электрона мала (m ~ IO-30 кг), то Tb ~ (16 -ь 20) • IO3 К. Электронный газ не подчиняется классической статистике Максвелла—Больцмана.
5е. Энергия вырожденного электронного газа (VII.2.4.5°) и других газов, описываемых квантовыми статистиками, не является линейной функцией температуры. Поэтому простое физическое истолкование абсолютной температуры (11.3.2.5°) непригодно в области вырожденных газов (п. 3°).
v§ VII.2.4. ВЫРОЖДЕННЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ
593
§ VII.2.4. Вырожденный электронный ферми-газ в металлах
1°. Распределение электронов проводимости в металлах по энергиям описывается функцией распределения Ферми—Ди-
Число квантовых состояний электронов в единице объема металла, приходящееся на интервал энергий от W до W + dW, равно:
Здесь использована связь между импульсом электрона и его энергией:
Коэффициент 2 учитывает две возможные ориентации спина электрона (VI.2.2.30). Число электронов dnQ(W) в единице объема металла, энергия которых лежит в интервале от W до W+ dW,
Эта формула выражает закон распределения электронов проводимости в металле по энергиям.
2°. Своеобразные свойства электронного газа сказываются на его поведении при абсолютном нуле температуры (T = O К). Если |Ио — химический потенциал электронного газа при T = OK (УП.2.2.3°), то график функции распределения Ферми /ф при T=OK имеет вид, показанный на рис. VII.2.1. В интервале энергии от 0 до Щ) функция /ф равна единице (при W = |Xq /ф — = 1 /2). При переходе через W = она скачкообразно падает до
рака (VII.2.2.5°)
Ль ~
1
dg(W) „4пp2dp in(2m)3/2W1/2dW
V ft8 Л3
Л3
dg(W) 4 п(2т)3'2 W1/2dW
V Л3
ЭУ4 ГЛ. VII.2. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ ,
I
нуля. При T = OK электроны металла занимают все дозволені ные уровни энергии с «заселенностью», равной единице (VII.2.2.40), вплоть до уровня с энергией W = \jlq. Все уровни с энергией, превышающей ц0, свободны — «заселенность» их равна нулю. Таким образом, |Xq представляет собой максимальную энергию, которую могут иметь электроны проводимости в металле при абсолютном нуле температуры. Она называется энергией Ферми: |ig = WF.
3°. График закона распределения электронов проводимости по энергиям при T = 0 К имеет вид, показанный на рис. VII. 2.2.
Общее число электронов проводимости в единице объема металла
f ь, (ЛГЛ 471(2771)3/2 f Wu2 пт- 4л(2т)3/22 3/2
^0=Jdn0(W) =------------з--J W dW =----------------^wF ¦
о о
Отсюда
F 2тУ 8п J
Средняя энергия электрона (W) при T = О К При TiQ = 6 ¦ IO28 м"3 (W) = 9 • IO-19 Дж = 5,4 эВ.
Рис. VII.2.1
Рис. VII.2.2
§ VII.2.4. ВЫРОЖДЕННЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ
595
Если сопоставить эту энергию со средней энергией молеку-
кТ
лы невырожденного одноатомного газа (W) = ^fcT (11.3.2.5°), то получится, что энергию Wf молекула могла бы иметь при температуре T — IO4 К. Другими словами, в обычных условиях
^«i
Wt
4°. При температуре, отличной от абсолютного нуля, функция распределения Ферми—Дирака /ф имеет вид, изображенный на рис. VII.2.3 сплошной кривой. Там же прерывистой линией /ф изображена функция fф при T =
= OK. Кривые отличаются характером спада вблизи значения W = ц. \
Резкий спад по вертикали при W =
= Ho = Wf в случае T=OK (рис.
VII.2.1) сменяется плавной кривой ABC при T Ф ОК. Существенно, что О состояния электронов, расположенных на уровнях энергии, удовлетворяющих условию W <? JJ., не изменяются при нагревании от 0 К до Т. Искажение функции /ф происходит только на ее «хвосте» в интервале энергии шириной 2kT вблизи значения W = |х, при котором /ф = 1/2.
5°. Химический потенциал Ц (VII.2.2.3°) электронного газа при температуре T
п 2(kT\2-
D
В
кТ
