Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
W
Рис. VII.2.3
Внутренняя энергия U (П.2.1.2°) моля электронного газа
U - ^NaW-
Ti 4- 5 Tl2(feT)2n
fL 12 w| J
Здесь Na — постоянная Авогадро (IX), k — постоянная Больцмана (11.1.4.5°). Величины ц и U практически не изменяются с повышением температуры.
596
ГЛ. VII.2. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Молярная теплоемкость Cyii (11.2.5.2°) электронного газа
Г !»,!ї
Э T 2 aWt'
Сравнение с темлоемкостью невырожденного одноатомного
3
газа(11.3.7.1°) C^ac = -^NaU показывает, что
cVn _ EfAI
Склас 3 Wt ’
kT
Для комнатных температур ~ 0,01 (п. 3°), поэтому
W Y
CvvJCF™ ~ 0,03. Теплоемкость вырожденного электронного
газа ничтожно мала. Это связано с тем, что в процессе изменения внутренней энергии электронного газа при нагревании участвует незначительное число электронов, находящихся в «области спада» функции распределения /ф Ферми—Дирака (заштрихованные области 1 и 2 на рис. VII.2.3). Таким образом, снимается одна из больших трудностей, существовавших в классической электронной теории проводимости металлов (111.7.3.7°).
§ VII.2.5. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов
1°. Теория электропроводности металлов, построенная на основе квантовой механики (VI. 1.1.1°) и квантовой статистики Ферми—Дирака (VII.2.2.5°), называется квантовой теорией электропроводности металлов. В этой теории с помощью функции распределения Ферми—Дирака (VII.2.2.5°) выведен закон Ома для плотности тока (111.7.3.4°)
j = УЕ.
2°. Удельная электрическая проводимость у в квантовой теории электропроводности вычисляется по формуле
§ VII.2.5. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ
597
где «о — число электронов проводимости в единице объема металла, <XF> — средняя длина свободного пробега электрона (11.3.5.1°), имеющего энергию Ферми (VII.2.4.2°), Up— скорость теплового движения такого электрона. При внешнем сходстве этой формулы с формулой для Y в классической электронной теории (111.7.3.4°) она имеет совершенно другое физическое содержание и, в отличие от классической формулы, полностью соответствует опытным данным.
3°. В квантовой теории электропроводности металлов получает свое объяснение зависимость удельной электрической проводимости от температуры: у ~ 1/Т1, а также аномально большая величина средней длины свободного пробега электрона в металле (ПІ.7.3.70). Упорядоченное движение электронов в металле — электрический ток — рассматривается в квантовой теории как процесс распространения электронных деброй-левских волн (VI.1.1.4°), которые рассеиваются на ангармонических тепловых колебаниях частиц решетки металла (VII.1.2.4°). В оптике аналогичное явление происходит при распространении световой волны сквозь мутную среду, содержащую центры рассеяния (взвешенные в жидкости частицы, коллоидные растворы и т. д.) (V.3.3.10). Если расстояния между центрами рассеяния имеют порядок, сравнимый с длиной волны Xt то происходит рассеяние света и интенсивность его убывает по мере распространения в среде. При расстояниях между центрами рассеяния, меньших Х/2, среда является оптически однородной и рассеяния света не происходит (V.2.4.30).
4°. Идеальная кристаллическая решетка, в которой отсутствуют всякие нарушения периодичности, а в узлах находятся неподвижные частицы, ведет себя подобно оптически однородной среде — она не рассеивает электронные волны, и электроны проводимости проходят в такой решетке без сопротивления. Рассеяние электронных волн происходит лишь при появлении искажений периодичности в решетке — неоднородностей, играющих роль центров рассеяния. Такими центрами являются, например, флуктуации плотности в решетке (П.4.6.30), возникающие в результате ангармонических тепловых колебаний положительных ионов металла. За исключением сверхпроводников (VII.2.6.1°) это рассеяние и приводит к
598
ГЛ. VII.2. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
существованию у чистых металлов электрического сопротивления.
5°. С повышением температуры возрастает рассеяние электронных волн на тепловых колебаниях частиц решетки и уменьшается средняя длина свободного пробега электронов.
Величина (Ар) вычисляется по формуле
п \ = -Л±-
'Af' nn0kT ’
где E — модуль Юнга (VII.1.3.6°), d — период кристаллической решетки, Hq — число атомов в единице объема, h — постоянная Больцмана (11.1.4.5°), T — термодинамическая температура. При этом удельная электрическая проводимость оказывается обратно пропорциональной термодинамической температуре и не зависит от Uq для одновалентных металлов1:
e2Ed
Y = -¦¦¦ —
1 muFnkT'
Эта формула согласуется с экспериментальными данными в области комнатных температур. Например, для серебра получается
Утеор ~ ^' IO7 Ом-1 м-1, в то время как Уэкспер ~ 6,3 ¦ IO7 Ом-1 м-1. При очень низких температурах приведенные выше формулы несправедливы. Средняя длина свободного пробега в этих условиях зависит от температуры по закону (Ap) ~ Т~5.
6°. Помимо флуктуаций плотности, причиной рассеяния электронных ВОЛН И электрического сопротивления металлов і являются искажения периодичности кристаллической решет- ; ки, вызванные включениями в решетку примесных атомов. Удельное сопротивление р металла (р = 1/у) состоит из двух частей:
