Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
h
дит по формуле Фт = NOq, где N — целое число, а = 2е —
квант магнитного потока (h — постоянная Планка, е — элементарный заряд).
§ VII.2.7. Теплоемкость твердых тел
1°. Для твердых тел не различаются теплоемкости Cv и Cp (11.2.5.4°, 7°). Основной вклад в теплоемкость неметаллических твердых тел вносит энергия тепловых колебаний частиц, находящихся в узлах кристаллических решеток. Для металлов незначительный вклад в теплоемкость вносит вырожденный электронный газ (VII.2.4.5°).
2°. В основе классической теории теплоемкости твердых тел лежит закон равномерного распределения энергии по степеням свободы (11.3.6.3°). Однородное твердое тело рассматривается как система независимых друг от друга частиц, имеющих 3 степени свободы и совершающих тепловые колебания с одинаковой частотой. Средняя энергия (W), приходящаяся на
§ VII.2.7. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
605
одну степень свободы: (W) = кТ
Un «7 \ / • V Л
(11.3.6.4°). Внутренняя энергия ^ (11.2.1.2°) моля твердого тела
где Na — постоянная Авогадро (IX), k — постоянная Больцмана (П.1.4.50), R = kNA— универсаль-
U = 3 Na(W) = ZNaUT = SRTi
ная газовая постоянная (П. 1.4.4°). О
Молярная теплоемкость1 (11.2.5.4°) твердого тела с атомной кристаллической решеткой
100 200 300 Т, К
Рис. VII.2.9
— 0 гр — 3R — 25
моль•К"
кал
Правило Дюлонга и Пти: молярная теплоемкость всех химически простых кристаллических твердых тел прибли-
теплоемкость твердых тел не должна зависеть ни от температуры, ни от каких-либо характеристик кристаллов. Опыты опровергают это и указывают на зависимость теплоемкости от температуры, в особенности в области низких температур (рис. VII.2.9). Причины расхождения с опытом классической теории теплоемкости твердых тел состоят в ограниченности используемого закона равномерного распределения энергии по степеням свободы и непригодности его в области низких температур, где среднюю энергию колеблющихся частиц в кристаллической решетке необходимо вычислять по законам квантовой механики (VL1.5.90).
3°. В первоначальной квантовой теории теплоемкости твердых тел кристалл рассматривался как система N атомов, каждый из которых является квантовым гармоническим осциллятором. Колебания всех атомов происходят независимо друг от друга с одинаковой частотой м. Средняя энергия (W), приходящаяся на одну степень свободы атома — квантового гармониче-
зительно равна 6
кал
Согласно этому правилу молярная
моль•К'
1 Часто говорят о теплоемкости, отнесенной к грамм-атому твердого тела.
606
ГЛ. VII.2. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
ского осциллятора, равна с точностью до нулевой энергии (VI. 1.5.9°)
Внутренняя энергия U (11.2.1.2°) моля твердого тела выразится следующим образом:
Если ввести характеристическую температуру Tq = , то
Этот результат качественно описывает зависимость теплоемкости твердых тел от температуры, изображенную на рис. VTI.2.9.
При высоких температурах (hv kT), как показано в VI. 1.5.9°, (W) = kT в соответствии с законом о равномерном распределении энергии по степеням свободы (11.3.6.4°) и Cvl = BR.
При низких температурах (hv kT)
(W)=
ho
hv
откуда находится молярная теплоемкость твердого тела
1
и
1 Cm. сноску на с. 605.
§ VII.2.7. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
607
—Т /т
При T -> 0 имеем Тв/T -> оо и е 8 —> О быстрее, чем воз-
растает (Tq/T)2. Поэтому при 71 —> О теплоемкость Cfi —> 0, что качественно согласуется с опытом. Однако количественно поведение теплоемкости твердых тел вблизи абсолютного нуля простейшая квантовая теория не описывает.
4°. Предположение о том, что все атомы твердого тела совершают тепловые колебания независимо друг от друга с одинаковой частотой, чрезмерно упрощает подлинную картину колебаний частиц в кристаллической решетке. Между атомами (или другими частицами) твердого тела имеются настолько сильные взаимодействия, что все N частиц тела образуют связанную систему, обладающую 3N степенями свободы, причем колебания всех атомов могут происходить с различными частотами. Весьма сложная задача о распределении частот колебаний атомов в твердом теле явилась в свое время основой уточненной теории теплоемкости твердых тел. Твердое тело обладает широким спектром частот колебаний. Имеются колебания с достаточно низкими и более высокими частотами. Низким частотам соответствуют упругие колебания кристалла звукового (или ультразвукового) диапазона. Связь между частицами в кристаллической решетке приводит к тому, что в кристалле распространяются упругие звуковые волны.
Физическая идея теории теплоемкости твердых тел, уточнившей теорию, рассмотренную в п. 3°, состояла в том, что основной вклад в энергию тепловых колебаний кристалла вносят колебания низких частот, соответствующих упругим волнам с длинами волн, превышающими период кристаллической решетки. Это следует, в частности, из рис. VI.1.7, показывающего, что наибольший вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят колебания с малыми частотами (VI. 1.5.9°). Упругие волны в твердом теле ведут себя так, как если бы они распространялись в сплошной среде. Атомная структура кристалла не оказывает влияния на распространение в нем упру-
