Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
415
стей накладывающихся волн, а в интерференционных минимумах — меньше их суммы. Интерференция волн приводит к перераспределению энергии колебаний между соседними областями среды. Однако в среднем для большой области пространства энергия результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн. Этот результат — следствие закона сохранения и превращения энергии.
4°. Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны. Стоячей волной называется волна, образующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечных волн еще и одинаковую поляризацию (IV.3.2.2°). Поперечная стоячая волна образуется, например, на натянутой упругой нити, один конец которой закреплен, а другой приводится в колебательное движение.
При наложении двух когерентных бегущих плоских волн вида
Sj=A sin (cot - kx) и S2 = A sin (cot + kx + а),
где а — разность фаз в точках х = 0, образуется плоская стоячая волна, описываемая уравнением
Амплитуда стоячей волны Act в отличие от амплитуды А бегущих волн является периодической функцией координаты х:
5°. Точки, в которых амплитуда стоячей волны Act = 0,. называются узлами стоячей волны, а точки, в которых амплитуда Act максимальна (Act = 2А), называются пучностями стоячей волны. Положение узлов и пучностей находится из условий
s = S1 + S2 = 2А cos (kx + j)) sin (cot + )¦
kx + ^ = (2m + 1)^
(узлы),
kx + -x = mn
(пучности),
гдет =0, I, 2
У •••
416
ГЛ. IV. 3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ
Расстояния между двумя соседними узлами и между двумя соседними пучностями одинаковы и равны половине длины X бегущих волн. Эту величину называют длиной стоячей волны. Xct = Я./2. Расстояние между соседними узлом и пучностью стоячей волны равно А,ст/2.
6°. В бегущей волне фаза колебаний зависит от координаты х рассматриваемой точки. В стоячей волне все точки между двумя узлами колеблются с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (синфазно), так как аргумент синуса в уравнении стоячей волны (п. 4°) не зависит от координаты х. При переходе через узел фаза колебаний изменяется
знак на противоположный.
На рис. IV.3.5. показан характер движения различных точек натянутой упругой нити длины I при установившейся в ней поперечной стоячей волне. Левый конец нити О приводится в гармонические колебания, а правый N закреплен неподвижно. В этом случае при отражении волны от места закрепления ее фаза изменяется на п, так что в месте закрепления нити образуется узел стоячей волны. В точке О (х = 0) разность фаз отра-
скачком на л, так как при этом
свои
s
I
женной и падающей волн ос = = -(2kl + п). Кружками на рис. IV.3.5 обозначены узлы стоячей волны, а момент времени to выбран так, что
У и 2)
7°. В стоячей волне (п. 4°) скорость колеба-
2 тельного движения частиц
3 среды
§ IV.3.5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
417
а относительная деформация среды
= -2Ak sin (kx + sin foot +
2) I 2)
= 2Ak sin I kx + ^ I cos f
= 2Ak sin
Таким образом, в отличие от бегущей волны (IV.3.3.40), в стоячей волне є опережает U1 по фазе на я/2, так что в те моменты времени, когда U1 достигает амплитудного значения, є обращается в нуль, и наоборот. Кроме того, амплитуды U1 и є зависят от координаты х и притом различным образом: в пучностях стоячей волны (п. 5°) располагаются пучности скорости частиц и узлы деформации среды, а в узлах стоячей волны — пучности деформации и узлы скорости.
В упругой стоячей волне энергия периодически преобразуется из потенциальной энергии, локализованной в основном вблизи пучностей деформации, в кинетическую, локализованную в основном вблизи пучностей скорости, и обратно. Поэтому энергия периодически мигрирует от узлов стоячей волны к ее пучностям и обратно. Однако в самих узлах и пучностях плотность потока энергии тождественно равна нулю. Среднее за период значение плотности потока энергии равно нулю в любой точке стоячей волны, так как две бегущие волны, образующие стоячую, переносят за период равные количества энергии в прямо противоположных направлениях. В силу указанной особенности стоячие волны и получили свое название.
8°. В случае свободных колебаний струн, стержней и столбов газа в них устанавливаются стоячие волны, частоты которых удовлетворяют определенным условиям, т. е. могут принимать только определенные дискретные значения, называемые собственными частотами колебаний соответствующей колебательной системы. На жестко закрепленных концах струн или стержней располагаются узлы смещения (пучности деформации), а на свободных концах стержней — пучности смещения (узлы деформации). При колебаниях цилиндрического столба газа в трубе у закрытого конца трубы располагается пучность давления, а у открытого — узел давления.
Если I — длина струны, стержня или столба газа, v — фазовая скорость волны, а А, — ее длина, то для струн или стержней, закрепленных на обоих концах, и столбов газа в трубах,
