Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
Д = —- + —- + —- — оператор Лапласа. Этому уравнению
•Ч 6 *4 6 “I Li
OX ду OZ
удовлетворяют, в частности, плоская волна (п. 7°) и расходящаяся сферическая волна (п. 8°).
Функция s, характеризующая синусоидальную волну в однородной изотропной среде, одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных:
As = -kzs, где k — волновое число (п. 6°), и
32S 2
где ю — циклическая частота волны.
10°. Скорость и распространения синусоидальной волны называется фазовой скоростью. Она равна скорости перемещения в пространстве точек поверхности, соответствующей любому фиксированному значению фазы синусоидальной волны. Например, в случае плоской синусоидальной волны (п. 6°) ИЗ условия Ш? - kx + Фо = const следует, что
dx ш „ ,
— = — = V. Соответственно в случае сферической синусои-dt k
дальной волны (п. 8°) из условия ш? - kr + a = const следует,
dr ю что — = — = и. dt k
§ IV.3.3. Фазовая скорость и энергия упругих волн
1°. Фазовая скорость звуковых волн (скорость звука) в жидкости или газе
V = JK/р,
где р — плотность невозмущенной среды, К — модуль объемной упругости среды (IV.3.1.1°). Частота слышимых звуковых волн V > 16 Гц, и процесс деформации среды можно считать
406
ГЛ. IV.3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ
адиабатическим (11.1.3.7°), т. е. К = - y^jyj • Для идеального
газа (11.1.4.1°) связь между давлением р и объемом V в адиабатическом процессе: pVK = const, где к — показатель адиабаты (11.2.5.11°), так что К = кр. Поэтому скорость звука в идеальном газе равна
V = JicpTp = JkRT/ц,
где Ц — молярная масса газа, T — его термодинамическая температура, R — универсальная газовая постоянная.
2°. Фазовая скорость поперечных упругих волн в однородной изотропной твердой среде
V = JgTp ,
где G — модуль сдвига среды (VII.1.3.9°), р — ее плотность.
Распространение продольных волн в тонком длинном стержне связано с его продольным растяжением и сжатием. Соответственно фазовая скорость таких волн
V = JeTp ,
где E — модуль Юнга (VII. 1.3.6°) для материала стержня.
Скорость распространения поперечных волн вдоль струны, т. е. вдоль натянутой тонкой гибкой нити, равна
V = JfT(PS),
где F — сила натяжения струны, а р и S — плотность материала струны и площадь ее поперечного сечения.
3°. Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией. Если V1 — скорость частиц среды (IV.3.1.4°), то объемная плотность кинетической энергии среды
dwK 1 0
w*~~3v~ 2p<,i'
SIV .а.а. ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ И ЭНЕРГИЯ УПРУГИХ ВОЛН
407
где р — плотность среды, dWK — кинетическая энергия всех частиц в малом объеме dV среды, выбранном таким образом, что в его пределах скорость V1 всюду одинакова.
Объемная плотность потенциальной энергии упруго деформированной среды
где dWn — потенциальная энергия однородно деформированного малого участка среды объемом dV, v — фазовая скорость волны в среде, є — относительная деформация.
Под объемной плотностью энергии упругих волн понимают объемную плотность w механической энергии среды, обусловленную распространением этих волн,
4°. Если в среде распространяется продольная плоская бегущая волна (IV.3.2.40), то = ds/dt, где s — смещение час-
13 каждой точке среды, охваченной волновым движением, wK и Wu являются одинаковыми функциями времени. Соответственно и w изменяется с течением времени. Эта закономерность справедлива для любых бегущих волн в упругой среде независимо ни от формы их волновых поверхностей, ни от типа деформации среды. Она вытекает из закона сохранения энергии применительно к процессу распространения колебаний в упругой среде. Для вовлечения в колебательное движение все более и более удаленных от источника волн областей среды необходимо затрачивать энергию, сообщаемую среде источником. Следовательно, распространение упругих волн неразрывно связано с передачей энергии от одних участков среды к другим. Именно потому объемная плотность w энергии волн зависит как от координат, так и от времени.
408
ГЛ. IV. З. УПРУГИЕ ВОЛНЫ
Для плоской бегущей синусоидальной волны в непоглощающей среде (IV.3.2.5°)
w = pA2co2cos2(cof - kx + фо)
— I рА2со2[1 + cos 2(tof - kx + фо)],
где А = const — амплитуда волны.
В случае расходящейся сферической синусоидальной волны в непоглощающей среде (IV.3.2.8°)
w = PA2W2COs2(O)/ - kr + а), где А = ао/г — амплитуда волны.
Среднее за период значение объемной плотности энергии
(;w) = рА2со2/2.
5°. Скорость переноса энергии волной равна скорости перемещения в пространстве поверхности, соответствующей максимальному значению объемной плотности w энергии волны. Для синусоидальных волн эта скорость равна фазовой скорости V.
Потоком энергии dOw сквозь малую площадку dS называется отношение энергии dW, передаваемой через эту площадку за малый промежуток времени, к его величине dt:
dOw = dW/dt.
Если V — вектор скорости переноса энергии волной (рис. IV.3.1), то
