Теория и расчет оптико-электронных приборов - Якушенков Ю.Г.
ISBN 5-88439-035-1
Скачать (прямая ссылка):
Mtxi /% = Ме\ш/ах2 =¦¦•= Afrtii /аХп = Mek4r где Ме;1чт — спектральная плотность энергетической светимости черного тела; а} — спектральный коэффициент поглощения.
В соответствии-с законом сохранения энергии для любого тела
ах+Р х+Ч=1'
где рх и хх —коэффициенты отражения и пропускания соответственно. Поэтому для непрозрачных тел с = 0 коэффициент Cik=I—рк, т.е. по закону Кирхгофа тела с хорошей отражательной способностью являются плохими излучателями.
Закон Стефана-Больцмана: энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры, т.е.
Mt = GT4, (3.7)
где о = 5,66971-Ю'8 Bt m 2-K 4 — постоянная Стефана-Больцмана.
Для любого излучателя Mex= ExtM^ 4t, где екТ — спектральный коэффициент излучения данного тела.
57 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
Для серого тела
4T=f{T)=4> Ме^ = гтоТ4.
Закон Планка описывает распределение энергии по спектру длин волн:
Mek = Ме(Х,Т) = С1Х-б[ехр{С2/ХТ)-і\1, (3.8)
где ?^=3,7415-10"16 Bt m2; C2=I,43879-IO 2 м-К.
При XT < 3000 мкм-К для практических вычислений формулу (3.8) можно представить в виде
Mek = С,Х-5ехр(-С2/ХТ). (3.9)
Закон Планка позволяет рассчитать энергетическую светимость черного тела Mak, а следовательно, и поток его излучения, приходящийся на заданный или выбранный спектральный диапазон AX=X2-X1. Для этого можно проинтегрировать выражение (3.8) в пределах X1...X2.
Иногда удобно вместо такого интегрирования разбить диапазон AX на п участков и воспользоваться приближенной формулой:
Mix=^T4 + 3{nXf + 6nX + в]ехр(- nX) J.
Из формулы закона Планка можно получить выражение для закона Стефана-Больцмана. Действительно, если проинтегрировать (3.8) в пределах О...«), то получим (3.7), т. е.
OO
Me= fMekdX = оТ4. о
Если задаться целью определить длину волны излучения, соответствующую максимуму кривой Mek=f(X), т.е. найти экстремум функции Mek, то получим так называемый закон Голицына-Вина:
Xmax =2898/Т. (3.10)
Здесь Xmax берется в микрометрах, a T — в Кельвинах.
На практике часто закон Голицына-Вина используют в следующем виде:
Xmax = 3000 /т.
Закон Голицына-Вина указывает, что с увеличением температуры излучателя максимум излучения сдвигается влево по спектру длин волн X, поэтому он называется также законом смещения.
58 Глава 3. Оптическое излучение
Интегрируя выражение для МеХ в пределах 0... Xmax, получим
^max Y
Me = J MeXdX = L0T4,
4
т.е. в коротковолновой части спектра черное тело излучает одну четверть всей энергии, а ее основная доля приходится на более длинные волны.
Для некоторых практических применений, например, для реализации схемы балансной оптической спектральной фильтрации (см. § 11.4), важно учитывать, что 50% полного излучения (площади кривой Планка) содержится в диапазоне О...Х1/2, где Х1/2 = 4110/Т.
Очень часто чувствительность приемников излучения зависит в большей степени от скорости прихода квантов излучения, чем от значения энергии излучения. Поэтому можно привести выражение для числа квантов излучения (фотонов), испускаемых тепловым излучателем в единицу времени и приходящихся на единичный спектральный интервал внутри полусферического телесного угла.
Это выражение легко получается из (3.8) делением его на величину, определяющую энергию одного фотона, т. е. на є = hc0/X = 1,9863-10"19/Я. Вт-с
Nx=2ncgX-4{exp[hc0/(kXT)]-iy1. (3.11)
Поскольку мгновенная скорость излучения фотонов определяется многими случайными процессами, целесообразно оценить их влияние, приводящее к флуктуациям числа Nx, спектром шума (рф, который является зависимостью от частоты среднего квадратического отклонения мощности или числа фотонов от их средних значений. Рассматривая мощность излучения Фе как флуктуирующую величину, можно получить выражение для (рф в следующем виде:
ср ф = 8 AkoT5, (3.12)
где А — площадь излучателя; k = 1,3806-"23 Дж-К"1; о = 5,6697-Ю"8 Btm2-K"4.
Для спектра шума, описывающего флуктуации числа фотонов N: (pN = 4,17-Ю" AT3. (3.13)
Для источников — серых тел правые части (3.12) и (3.13) следует Умножить на коэффициент излучения.
Имеются специальные таблицы функций Планка, с помощью которых можно найти полную энергию, излучаемую в данном спектральном диапазоне, число квантов в излучении черного тела и ряд других
59 Ю.Г. Якушенков. Теория и расчет оптико-электронных приборов
данных [12].
Формулу Планка можно представить графически в виде так называемых кривых Планка (рис. 3.3), что чаще на практике более удобно. Рассматривая кривые для каких-либо температур, можно заметить, что чем больше температура, тем выше расположена кривая, т.е. на любом участке спектра полный излучатель с более высокой температурой дает больше энергии излучения, чем полный излучатель с меньшей температурой.
Sf Ofi
м.
ГА
Рис. 3.3. Кривые Планка: Т,>Т2>Т3
Рис. 3.4. Единая изотермическая кривая
Для упрощения расчетов, связанных с использованием кривых Планка, удобно рассматривать единую изотермическую кривую, получаемую заменой в формуле Планка переменных X и Me7 новыми переменными:
