Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Начальное условие имеет вид
оно задает распределение концентрации в момент времени t - О. Граничные
условия для уравнения (2.6.1) будут рассмотрены в следующем пункте.
2.6.1. Фазовое пространство уравнения (2.6.1)
В первых пяти параграфах этой главы мы рассматривали системы, состояние
которых в данный момент времени t можно описать с помощью набора п чисел
x(t) = (х\ (t), ...
I
Рис. 2.38. Профили концентрации.
и (г, 0) = cp(z), ге[0, L];
(2.6.2)
64
Глава 2
..., xn(t)). Фазовым пространством такой системы является пространство R"
или его часть, а эволюцию системы во времени можно описать движением
фазовой точки по соответствующей траектории.
В случае упомянутого выше трубчатого реактора состояние системы в момент
времени t описывается функцией, заданной на промежутке [О, L].
Следовательно, фазовым пространством уравнения (2.6.1) является
пространство функций, определенных на промежутке [О, L], или его часть.
"Точки" этого фазового пространства суть функции.
Функцию u(z, t) двух переменных г, t можно рассматривать как отображение,
которое каждому t ^ 0 ставит в соответствие функцию и((¦) - и(-, t)
переменной г. Тем самым мы получаем некоторую кривую в подходящем образом
выбранном пространстве функций. Эту кривую можно назвать траекторией
уравнения (2.6.1). Введенное выше пространство функций в дальнейшем мы
будем обозначать символом Е. При этом правую часть уравнения (2.6.1)
можно рассматривать как оператор на пространстве Е, т. е. отображение F:
Е-"-Е.
Пример. Положим в уравнении (2.6.1) f(u)=u( 1 - и2), Р = 1. Тогда правая
часть (2.6.1) ставит в соответствие, например, функции "(г) = sin яг
функцию
F (и (г)) = (sin яг)" + sin яг (1 - sin2 яг) =
= -я2 sin яг + sin яг • cos2 яг.
Если рассматривать функцию u(z,t) как кривую в пространстве Е. т. е. как
отображение t-+uf ("*(г) = u(z,t)), то частей , ,,
ную производную -Qj-(z, t) можно представить следующим образом:
.*2.(2, 0 = Пш ±(z-x±+h-l--u^Il =
01 h ->0 п
= нт <*) -"*(*)
А-" о h dt
т. е. как вектор, касательный к кривой
Уравнение с частными производными (2.6.2) можно теперь записать в виде
обыкновенного дифференциального уравнения
•lf = F (и*), (2.6.3)
фазовым пространством которого является бесконечномерное функциональное
пространство Е.
2.6. Дифференциальные уравнения с частными производными 65
Для уравнения (2.6.3) (а тем самым и для уравнения (2.6.1)) можно
использовать большинство результатов, представленных в §§ 2.1-2.5.
Если к уравнению (2.6.1) добавлены граничные условия, например условия
вида
и (0, t) = u(L, 0 = 0 (2.6.4)
для любых t ^ 0, то вместо пространства Е мы должны взять подпространство
Do={ue Е, а(0) = ы(?) = 0}.
Это подпространство будет фазовым пространством уравнения
(2.6.3), т. е. уравнения (2.6.1) при условиях (2.6.4).
2.6.2. Устойчивость стационарного решения
Если решение u = u(z,t) уравнения (2.6.1) не зависит от времени, то мы
называем его стационарным решением. Профили концентрации стационарного
решения не зависят от времени.
Стационарному решению "0(2) уравнения (2.6.1) отвечает состояние
равновесия уравнения (2.6.3): для него выполняется условие
F("o) = 0. (2.6.5)
Соотношение (2.6.5) представляет собой обыкновенное дифференциальное
уравнение Du? + f (ы0) = 0.
Пример 2.10. Рассмотрим дифференциальное уравнение
(2-6.6)
с граничными условиями вида
и (0, 0 = и(я, 0 = 0. (2.6.7)
Стационарными решениями уравнения (2.6.6) являются решения обыкновенного
дифференциального уравнения
и" (г) = 0, (2.6.8)
т. е. функции вида u(z)= az + b, где а, Ъ суть произвольные постоянные.
Из этих функций мы должны выбрать те, которые удовлетворяют граничным
условиям (2.6.7), т. е. условиям и (0) = и (л) = 0. Отсюда а - Ъ = 0:
единственным стационарным решением уравнения (2.6.6), которое
удовлетворяет условиям (2.6.7), является функция и (г) = 0.
5 М. Холодниок и др.
€6
Глава 2
Обратимся теперь к вопросу устойчивости стационарных решений
дифференциальных уравнений в частных производных. В абстрактной записи
(2.6.3) речь идет об устойчивости положений равновесия уравнения (2.6.3).
Это означает, что стационарное решение Uo(z) уравнения (2.6.1) является
устойчивым лишь в том случае, если для всякого решения u(z,t) уравнения
(2.6.1) с начальным условием и (z, 0) = <р(г), где функция ф(г)
достаточно близка к функции uo(z) в пространстве Dfc, оказывается
выполненным соотношение
lim u(z, t) = u0(z) (2.6.9)
t~> ОО
для любых ге [О, L] 1}.
Иными словами, профили концентрации решения u(z,t) "сходятся" при i-v-f-
oo к графику стационарного решения щ{г).
Устойчивость положений равновесия уравнения (2.6.3) можно определять так
же, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений. Именно, мы находим
собственные числа линеаризованного уравнения, и если эти собственные
числа располагаются слева от мнимой оси, то соответствующее состояние
равновесия устойчиво. Этот подход продемонстрируем на примере.
Пример 2.10 (продолжение). Оператор F(и) = dzu/dz2 в правой части
