Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
называют a-предельным множеством траектории у.
(Ь) Точку as R" мы называем a-предельной точкой траектории у
(хо), если существует последовательность вещественных
чисел &>"-ь для которой
lim tk = -oo
&-> + 0О
и выполняется соотношение
lim ф (tk, Хо) = а. (2.4.4)
fe->+oo
Множество всех a-предельных точек данной траектории у мы называем a-
предельным множеством траектории у и обозначаем а (у).
Замечание. С помощью введенных понятий гетероклиниче-GKyro траекторию
можно определить следующим образом: траектория у гетероклиническая, если
а (у) = {хо} и ш(у) = {xi}, где х0, Xi (х0 Ф X!) - положения равновесия
системы. Аналогично, траектория у является гомоклинической, если а(у) = =
ш(у) = {х0}.
С помощью а- и ш-предельных множеств можно "визуализировать"
асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений (рис. 2.33).
Так, например, на рис. 2.33 ш-пре-
2.5. Показатели Ляпунова
55
дельным множеством траектории 70 является замкнутая траектория 71, т. е.
м (Vo) = Vi-
2.4.3. Возникновение гомоклинной петли
Механизм возникновения петли можно наблюдать в 1-параметрической
двумерной системе дифференциальных уравнений
x = f(x,a), xeR2, ae[0, 1]. (2.4.5)
Пусть при кё(0, 1] система (2.4.5) имеет периодическое решение pa(t),
траектория которого уа при а->+0 "приближается" к состоянию равновесия
х0, представляющему собой седло
ot1>0 о"х2"х1 <%=a
Рис. 2.34. Возникновение гомоклинической петли Г.
(см. рис. 2.34). При а = 0 периодическая траектория "превращается" в
гомоклинную петлю. Если теперь двигаться по рис. 2.34 справа налево (т.
е. увеличивать а от 0), то мы увидим возникновение периодической
траектории из гомоклинной петли. Механизм возникновения гомоклинной петли
может быть и иным; например, состояние равновесия может возникнуть на
замкнутой траектории.
Замечание. В окрестности гомоклинных петель в трехмерном или многомерном
фазовом пространстве обычно существуют хаотические инвариантные множества
(см. п. 2.5.2).
2.5. ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА
Поведение траекторий в окрестности состояния равновесия для уравнения
x = f(x), xeR" (2.5.1)
мы описываем с помощью собственных чисел матрицы линеаризации. Для
описания поведения траекторий в окрестности замкнутой траектории служат
ее мультипликаторы. Для исследования поведения траекторий в окрестности
произвольной
56
Глава 2
траектории удобно использовать показатели Ляпунова, которые представляют
собой аналоги мультипликаторов периодических траекторий.
2.5.1. Основные свойства показателей Ляпунова
Пусть Г(хо) - траектория уравнения (2.5.1), соответствующая решению р (0
= ФХо (О- Асимптотическое поведение траекторий, лежащих вблизи у(х0),
определяется поведением фундаментальной матрицы UXo (/) уравнения в
вариациях для решения р((). Показатели Ляпунова являются инструментом,
служащим для описания асимптотического поведения матрицы
IU0.
Рассмотрим п линейно независимых векторов bi, Ьг, ¦ • •, Ъп, выходящих из
точки х0. Выберем из них k векторов (1 ^.k^n), которые обозначим как е1 =
bfl, e2 = bi2, ..., ek = = bife. Векторы еь ..., eft задают в фазовом
пространстве R" некоторый fe-мерный параллелепипед Рк (см. рис. 2.35, где
6 = 3) и определяют натянутое на них 6-мерное подпространство е(й).
Фазовый поток перемещает точку х0 за время t в точку фх (0> ПРИ этом
векторы eb е2, ..., ек отображаются на векторы и*We Ujoe, ¦>, которые в
свою очередь образуют параллелепипед ф*(Рк). Нас будет интересовать
изменение объема параллелепипеда Рк, точнее, отношение объемов ф*(Р*).и
Р*. Обозначим объем параллелепипеда Рк через || ех л е2 л ... л е* ||.
Этот объем вычисляется следующим образом.
11 Здесь введено (стандартное) определение того, как действует (при
каждом t) преобразование <р' сдвига по траекториям x->-<px(f) на векторы,
"прикрепленные" в точке xD. - Прим. ред.
2.5. Показатели Ляпунова
ЬТ
Обозначим через (ег, е;) скалярное произведение векторов е( и е,, i, j -
1, 2, ..., k. Тогда
||e, л ... л eft || = [det А]1/2,
где матрица А = (а,/), а,-/ = (ef, е;), i, j - 1, ..., k. Выражение ||
Ux" (0 в! Л ... Л UXo (0 eft || обозначает объем параллелепипеда
Определение. Предел (если он существует)
/ 1 II IL (t) е. л ... л IL (t) е. ||
Я (х0, е( ) = lim т 1п 11 - Хо , 1 ----х; *н- (2.5.2)
0 ' t^+oo* IIе, а ••• А е&|| '
называется й-мерным показателем Ляпунова траектории Г(х0)-Этот показатель
представляет собой "меру" скорости изменения объема параллелепипеда Pk
при его перемещении вдоль траектории Г (х0).
Условиями существования предела (2.5.2) мы здесь заниматься не будем1".
Нетрудно показать, что Я(х0, e(fe)) зависит лишь от подпространства е(Ч а
не от конкретного выбора векторов базиса. Наиболее важная информация,
касающаяся показателей Ляпунова, содержится в следующей теореме.
Теорема.
1. Одномерные показатели Ляпунова могут иметь не более п различных
значений Я, ^ Я2 ^ Я3 ^ ... ^ Кп.
2. ^-мерные показатели Ляпунова могут иметь ( " j различных
значений, причем каждый из них представляет собой сумму k одномерных
