Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Матрица А из (8.3), являющаяся сопровождающей матрицей
характеристического многочлена рекуррентной последовательности, была
введена в работе Brenner [11; там же можно найти доказательство теоремы
8.13. Позднее матричные методы начали интенсивно использоваться при
проведении исследований в этой области (см. Golomb [1 1, Birdsalf,
Ristenblatt Hk Eispas [11, Friedland [1 1, Stern, Friedland [1 } и
Mendelsohn fU). Эти методы имеют то преимущество, что они могут быть
также применены к линейным рекуррентным последовательно-
568
Гл* 8* Линейные рекуррентные последовательности
. .Й
т
нщ
GL (к
Carmicha 11, ch. 7
стям над более общими алгебраическими структурами (см., пример,
Niederreiter 16 J). Вычислительные аспекты матричнь* методов обсуждались
в работах Kama!, Singh, Puri, Nan da Ц и Latawiec El 1.
Доказательства формулы для порядка группы можно найти, например, в книгах
Artin 17, ch. 4 j,
14, ch. 10}, Dickson [7, part П, ch. If или Newman В них можно также
обнаружить формулы для порядков друщ матричных групп над полем fq, таких,
как специальные лине' ные группы, ортогональные группы пли
симплектические групп Теоретико-групповой аспект этих матричных групп
обсуждаете например, в работах Artin 151, [6], Carmichael (4, ch. 10 1,
Ch valley [21, Dickson 17, part III, Dieudonne 12] и Dixon fl], следние
исследования по теории представлений таких гру можно найти в статье
Srinivasan fl ]. Формула для поряд группы GL (к, Jpq) является частным
случаем формулы для чис т X n-матриц ранга г над полем которая имеет вид
г-1
q{r*-r)f2 - !)(<//г(tm)' - 1)(</н 1 - l)"h
¦ 1
Щ
Ш
Щ'-
jr=0
ш
х.-'М
где 1 г •< min (т, п). Этот результат для случая простого был получен в
работе Landsberg 11]. Доказательства этой форму можно найти также в
работах Arghiriade, Peter fi [1 I, Boro§ Fisher, Alexander 1! ]. В статье
Porter, Riveland 11 1 аналогична формула доказана для случая, когда
задано фиксированное чи s -<С. г линейно независимых строк в матрице. В
работе Klein I рассматривается число т X я-матриц над нолем Тр, для котор
все миноры порядка min {т, п) или все миноры порядка не бо min (т, п)
являются ненулевыми. Лн в работе Lee А. [1 ] показ что не существует
матрицы размера (q- 1) х q над полем в которой все миноры порядков q - 1
н q - 2 являются нену^ вымн. В работе Carlitz, Hodges [4] получено число
прямоугол ных матриц заданного ранга, у которых ранги подматриц име
предписанные заранее значения, а в работах Brawley, Carlitz It и Fisher,
Alexander HI получено число таких матриц с предгй санными значениями сумм
по строкам н столбцам. Другие пе числительные задачи для прямоугольных
матриц над полем изучались в работах Carlitz. Hodges 12 К Daykin 12],
Fulton J. 18], 110], Hodges [7] и Kim 11]. Для квадратных матриц зада^
ного порядка над полем iFg рассматривались более специальны]
перечислительные задачи. Так, в работе Buckhiester [1 I определен; число
таких матриц с заданными значениями ранга и следа также статью Johnson,
Porter, Varineau [1 ], где рассматриваете случай полного ранга). Райнер
(Reiner fl 1) и Герстенхабер {Ge| stenhaber П I) нашли число матриц,
имеющих заданный характё
Ж
'*3
та
№
та
Комментарии
569
ристическйЙ многочлен, а Карлиц и Ходжес (Carlitz, Hodges [31) получили
формулу для числа простых матриц. В статьях Fine, Herstein [Ми
Gerstenhaber [1 1 доказано, что имеется в точности qn*-* нильпотентных я
х я-матриц над полем а в статье Boll man, Ramirez [1 1 получено число
нильпотентных матриц над Zi(tn) заданного порядка и ранга. Число
циркулянтных матриц с заданным рангом подсчитано в работе Berlekamp [2J,
а в статьях Carlitz [511, [541, Carlitz, Hodges [11 получены
соответственно число кососимметрических, симметрических и эрмитовых
матриц заданного ранга, Дальнейшее развитие этого направления проведено в
работе MacWilliams [31, В работе Brawley, Carlitz [1 1 изучались те же
вопросы с дополнительными ограничениями иа суммы по строкам и столбцам.
Приложения полученных результатов можно найти в статье MacDougall [1 1. В
статье Felt, Fine [11 определено число упорядоченных пар коммутирующих я
X rt-матриц над полем аналогичные вопросы рассматривались Карлицом
(Carlitz 192]). В работе Kung П 1 получено число невырожденных матриц,
коммутирующих с данной блочно-диагональной матрицей. Эквивалентность н
классы подобия для матриц изучались в работах Brawley [1], Carlitz [104],
Carlitz, Hodges 13] и Gow El 1. В статье Brawley, Mullen [I ] найдено
число диа-гонализируемых матриц, имеющих заданное число различных
собственных значений. Для фиксированной квадратной матрицы А над полем
F<? Дайкин (Daykin [1 1) определил число различных матриц вида f (А),
имеющих заданный ранг, когда / пробегает Fq fx}. По поводу результатов о
числе решений матричных уравнений мы отсылаем читателя к комментариям к §
2 гл. 6 настоящей монографии. С этими перечислительными задачами о
матрицах непосредственно связана задача перечисления подпространств
