Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
тематике посвящена и работа MacWilliams, Sloane [1]. В статье Bartee,
Schneider (П векторы состояний последовательности /г-ro порядка над полем
имеющей максимальный период, вместе с нулевым вектором использованы для
описания элементов поля (см. также MacWilliams,
Sloane [1J, Monnig [1 1). Голомб (Golomb Ell) впервые начал использовать
последовательности максимального периода в качестве генераторов псевдо-
случайиых чисел (см. также Golomb [3, ch. 1], [4, ch. 31, Knuth [3, ch.
3], Niederreiter 17], ElO],
[[2J, E13], Tausworthe El] и Павлов, Походзей [1 J. Некоторые приложения
последовательностей максимального периода к теории кодирования
встречаются в работах Green, San Soucie И ], MacWilliams, Sloane [1 ],
Weng N1, Yale 11 1, Zierler 131 и Грушко Ell. По поводу других приложений
последовательностей максимального периода отсылаем к работам Bartee,
Schneider [11, Golomb 13, ch. 2], Laxton, Anderson [1], Mohanty 11],
Nadler, Sengupta El] и Сагаловнч Ell.
§ 3. Использование производящих функций в теории линейных рекуррентных
последовательностей иад конечными полями началось с работ Голомба (Golomb
El]) и Хаффмана (Huffman (1 ], 12]). Затем этот подход более полно
использовался в работах Friedland El], Richalet ЕМ, Stern, Friedland [11,
Zierler E4] и Назаров ЕМ; см. также книги Luneburg ЕЗ, ch. 24, 251 и
Selmer ЕЗ. ch. 3). Формальные степенные ряды иад полем Г2, представляющие
"почти периодические" последовательности, изучались в работе Baum,
Herzberg, Lomonaco, Sweet EM- Более общие последовательности, имеющие в
качестве производящих функций алгебраические функции над появились в
работе Furstenberg
1 I ] d
Другой подход к линейным рекуррентным последовательностям иад полем Fq
основывается на теории идеалов - см. работы Hall ЕЗ], Peterson ЕМ, Laksov
El] и Ward Е5]. Обзоры по этой
574
Гл. 8:. Линейные рекуррентные последовательности
тематике можно найти в книгах Peterson, Weldon [1, ch. 71 Selmer [3, ch.
31. В работах Hemmati, Costello [1] и Ika Kosako, Kojima [13, 12 3
применяется комбинированный подход с использованием теории производящих
функций и теории идеа лов в кольце fq UJ,
§ 4. Все основные результаты о минимальных многочлена можно найти в
работе Zierler [4 3. Теорему 8.44 можно найт также в статье Friedland,
Stern [13. Наше доказательство теорем* 8.42 имеет то преимущество, что
оно является конструктивы (см. также Willett [1 j). Набросок более
короткого, но неконструщ тивного доказательства приводится в упр. 8.25
(см. также Zierl [4 j). Другие подходы к понятию минимального многочлена
можй найти в работах Laksov [13 и Selmer 13, ch. 4 3. Теорема 8,44 npej
ставляет собой важное связующее звено с теорией порядков мно членов (см.
§ 1 гл. 3 настоящей монографии). Теорема 8.51 о*) видным образом связана
с детерминантным критерием нз § настоящей главы, где также содержится и
другой метод нахож ния минимальных многочленов.
Фитцпатрик (Fitzpatrick [1]) исследовал проблему получен линейной
рекуррентной последовательности над полем зада ного заранее периода с
помощью рекуррентного соотношен минимально возможного порядка. Много
работ было посвяще; определению минимального периода последовательности
Фи наччи над Fp или Zi{m) (см. Вагпег [1], Gatlin [1], Fulton, Mor| [lj,
Halton [ 13, Kluyver [lj, Mamangakis [1], Robinson D.
[lj, Stanley [1], [2], Tacklind [1], Vince [[3, Vinson [1], W [lj), а
также более общих последовательностей 2-го порядка txj или Z/(m) (см.
Bundschuh, Shiue [2], Kiss, Bui Minh Pho Robinson D. W. [3j, Smith,
Hoggatt [lj, Sommer [2],
[43, Wyler [I], Yalavigi[l], [23, Yalavigi, Krishna [l]). Иссл ваиия,
касающиеся минимальных периодов линейных рекурреш ных последовательностей
высших порядков над кольцами вши тов, проводились в работах Carmichael
[23, [3], Engstrom (1
[2], Hall [3], Ward [2], [53.
§ 5. Основополагающей работой по структуре векто пространств S (f (х))
является работа Zierler [43, где получе теоремы 8.53, 8.54, 8.55 и 8.56,
а также результаты о минимальн периоде суммарных последовательностей.
Пространства S (/ ( изучались также в работах Fillmore, Marx [1] и Selmer
[3, ch. 3, 4 Операция бинарного дополнения изучалась в книге Selmer [3
ch. 6]. В статье Kumar, Kumari [1] рассматрнвался эффект пер$ хода к
бинарному дополнению только в одном или в двух места: на длине одного
периода. Теорема 8.63 была получена в рабо| Ward [5] для случая конечных
простых полей. Переход к прои| вольному / (х), описанный вслед за
теоремой 8.63 (ср. с примерО; 8.64), можно также получить с помощью
символического мето
[А
Комментарии
575
- --
из § 5 следующей главы, который пригоден и для более общего случая.
Распределение минимальных периодов в S (/ (*)), называемое также цикловой
структурой пространства S (/ (х)), обсуждается в работах Fillmore, Marx
[lj, Selmer [3, ch. 4] и Zierler [4]. Вопрос совпадения, возникающий в
этом контексте, был решен в работе Duvall, Kibler [1]. В статье Ward [9]
