Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.
Скачать (прямая ссылка):
интерференционных полос на голограмме в точке (х2, г/г)-
Решение. В точке (Хч, г/г) разность хода опорной и предметной волн равна
A=_J^+JCtsi""
[х, = у, = у, = 0; г,=оо),
где sin6 = - и 0- средний угол между опорной и предметной zi
волнами. Центр интерференционных колец (рис. 51,6) лежит в точке x2=Xi.
154
Частота полос v (xs) - - - +
Хг _____ Xj-хг
^¦zi kzt
Xi
Таким образом,
в точке Х2=0 частота полос v=
Л<2|
3.4.6. Найти положение изображений при восстановлении с волной,
тождественной опорной. Запись произведена симметричными относительно
нормали плоским опорным и сферическим предметным пучками (рис. 52).
Решение. 1. Воспользуемся геометрическими соотношения ми, полученными в
задаче 3.4.3.
У нас zc = zr = оо
xcjzc = -bx\ xr/zr = - 0; *,/2,= +в;
(г,)" = z,; (xt)y = z, (вс -f- в, - вг) = z,0 = х,;
2. Определим структуру волнового поля сразу за голограммой. Пусть
Рис. 52
Рис. 53
(*.)*=-(¦*•)*=(0С -0. + 0Г) = - 3z,e=3z,0=Зх,.
R=R>eiax,
j Х*г+У22
Положим RB = Д = 1
t(xt, y,)*=RA* + R*A = elaxeiaxe
' 2г,
+
V (хг yt) = t (хг, ys) Ё = t (хг, у,) Я =
¦ x*,+ys . х*,+у*г
= ei3axe '* 221 -\-ё~'лх.е 2г'
Первое слагаемое дает сходящуюся волну, идущую под углом 3# к оси, второе
дает расходящуюся волну, идущую под углом (-0) к оси (рис. 53), которые и
формируют действительное (X3)r и мнимое (X3)v изображения точки.
5-й тип задач (3.5)
3.5.1. Голограмма записана с нормально падающим плоским опорным
пучком с длиной волны Предмет находился на расстоянии г1 = 10 см от
пластинки. Восстанавливающая волна имеет ^2= ЮЯх и идет вдоль оси.
Определить угловое и поперечное увеличение при восстановлении. Масштаб
голограммы при записи и восстановлении неизменен.
Решение. Воспользуемся геометрическими соотношениями, полученными в
3.4.3, и рассчитаем угловое и поперечное увеличения. У нас ц=|Яг/Я1= 10;
хс=хг= Ус=Уг=0, поперечное увеличе-
dx* d (x./z.) ¦
ние N - -j-i, угловое увеличение у,= . . .-Ч-. Получим
иХ| л (X
N -fl - -2l4-- -V*-1-
"у Zr^Zc l2) -
lrl=^=io.
X, = pxjj Z, = {W\zjpz, = X,,
z,=;z>.
Таким образом, поперечное увеличение равно единице, а плоскость
изображения расположена в десять раз ближе к голограмме, чем предмет.
6-й тип задач (3.6)
3.6.1. Внеосевая голограмма Френеля записана на фотопластинке с
разрешающей способностью 100 штрихов/мм. Определить максимальные размеры
предмета, который можно зарегистрировать на голограмме размером *2=0,1
мм, если Z[=1m, Я= = 5000 А.
Решение. Разрешающая способность пластинки определяет максимальную
пространственную частоту интерференционных полос:
Vmax(X*) = N== 100 ММ~'-
156
В данном случае (см. задачу 3.4.4)
Vma* = I" + (**.)maxI/AZ'
Проанализируем вклад слагаемых:
x,flz==0,2
т. е. главную роль играет (*i)maxAz~N. Отсюда (xi)max=-/VA2:= = 50 мм.
Таким образом, участки предмета, находящиеся на расстояниях >50 мм от
оси, на голограмме зарегистрированы не будут.
3.6.2. Осевая голограмма Френеля регистрируется на фотопластинке с
разрешающей способностью 0,5 мкм. Оценить расстояние между двумя точками
предмета, которые можно разрешить.
Решение. Частота интерференционных полос v(*2) на голограмме
v(x2)=x2/'kzi (см. задачу 3.4.4). Фотопластинка может зарегистрировать
только те кольца, ширина которых будет больше 0,5mkm=1/JV, т. е. vmax^N.
Отсюда (x2)max^NlZt и определит размеры голограммы, записанной на
пластинке. При восстановлении изображения голограмма эквивалентна
действию зонной пластинки или линзе определенной апертуры:
и не зависит от Я.
3.6.3. Сравните разрешающую способность голограммы Фурье и голограммы
Френеля. Угловые размеры голограммы *2/zi = 10-3, а углы дифракции
составляют ~10°.
Решение. Разрешающая способность 6*i осевой голограммы Френеля
определяется угловой апертурой голограммы А.
В голограмме Фурье пространственные частоты голограммы v(x2) однозначно
связаны с координатами объекта хг (рис. 54). Действительно, разность фаз
равна
A = smu = (x2)mJz. Согласно критерию разрешения
8л:, < А/sin и,
s" 1 ,
Ьх < ¦=--_______-___
1 (*2)шах Nlz- N-
= 5103А.
о
шах
157
2" / Xr xt N 2я /а " .
~ T"=-it (*; "гг) v (¦- Xi ft<0).
vW=s; (&-)s=i!jiri=collst'
т. e. интерференционные полосы имеют одинаковую частоту по всему по-г лю,
как в схеме Юнга. Эта картина соответствует интерференции двух плбских
волн, идущих под углом 0=5 01+0Г друг к другу. Частота по-Рис. 54 лос
v(x) однозначно связана с уг-
лом 0.
При дифракции света на предмете каждой пространственной, гармонике fx
функции пропускания предмета соответствует определенное направление
плоских дифрагированных волн, так что
г 1 _____sin 0
'х d Г~*
Таким образом, наименьший период, который можно зарегистрировать на
фотопластинке, определяется углом дифракции 0, а не размерами голограммы,
как в схеме Френеля.
Сравнивая Ьх и dmin, получим
дх Xz sin 9 103 . *
d ' ~~к 2 sin 0.
"min *2 шах л z
При 0= 10° 4^- = 100 и растет с ростом угла дифракции.
amin
Примечание. Проведенный расчет пригоден только при малых углах 0.
