Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
камеры.
(IV). Бифуркации с потерей симметрии
Предположим, что система (2.3.1) обладает некоторой симметрией g (см. п.
2.2.3), например g представляет собой симметрию относительно плоскости р.
Предположим, далее, что
42
Глава 2
существует замкнутая траектория у0, лежащая в плоскости Р (g(7o) = 7o).
Такая траектория при изменении а обычно пре-
", < ct*
<х = <xr
Рис. 2.24. Возникновение инвариантного тора.
Рис. 2.25. Бифуркация с потерей симметрии.
терпевает следующую бифуркацию. Одновременно с потерей устойчивости от
нее ответвляются две устойчивые траектории Ti и 72, взаимно симметричные
относительно плоскости р (см. рис. 2.25). Возникшие устойчивые траектории
уже не яв-
2.3. Бифуркации периодических решений
43
ляются g-симметричными (т. е. giyO^yi, i- 1, 2); тем самым при изменении
а имеет место потеря симметрии устойчивых траекторий - отсюда и название
бифуркации. №
2.3.2. Отображение Пуанкаре
Пусть у - замкнутая траектория системы
x = f(x), xe=Rn. (2.3.2)
Выберем точку XoGy и проведем через нее сечение, представляющее собой
достаточно малую часть гиперплоскости, которая
трансверсально (под ненулевым углом) пересекает траекторию у в точке Хо
(см. рис. 2.26).
Траектории системы (2.3.2), близкие к замкнутой траектории у, задают
отображение Р сечения Е на себя следующим образом. Возьмем точку xeS.
Через эту точку проходит траектория у(х). Обозначим через Р(х) первую
точку пересечения траектории у(х) с сечением Е, которая следует после х.
Тем самым мы определили отображение
Р:Е-*Е,
которое называется отображением Пуанкаре, соответствующим замкнутой
траектории у.
44
Глава 2
Свойства введенного таким способом отображения Р качественно определяют
поведение траектории системы (2.3.2) вблизи замкнутой траектории у. В
частности:
1) Пусть точка х0 является неподвижной точкой отображения Р, т. е. Р(х0)
= х0. Тогда траектория у(х0) замкнута. Итак: неподвижным точкам
отображения Р соответствуют замкнутые траектории системы (2.3.2) (лежащие
вблизи траектории у).
2) Пусть xigE. С помощью отображения Р определим последовательность точек
{хЛГ=ь XjgJ] следующим образом:
x2 = P(xl), x3 = P(x2) = P(P(xI)) = P2(x1), xft+1=Pft(x,),
где символом Рк{х) обозначается k-я итерация отображения Р, т.. е.
Рк = р о р о ... о р. k раз
Если теперь для всякой точки хе2, достаточно близкой к неподвижной точке
х0, имеет место формула
lim Рк (х) = lim xft+1 = x0,
k~*oo k~*oo
то x0 есть устойчивая неподвижная точка отображения Р, а замкнутая
траектория у, которая соответствует точке хо, является устойчивой
траекторией. (Это утверждение нуждается в некоторых уточнениях. - Ред.)
Устойчивость неподвижной точки х0 отображения Р определяется собственными
числами матрицы Якоби Р'^о)11, если абсолютные значения всех собственных
чисел этой матрицы меньше 1, то х0 - устойчивая неподвижная точка. При
этом собственные числа оказываются равными мультипликаторам
соответствующего периодического решения (см. п. 2.3.5).
3) Пусть существует точка yi е 2, такая что
Р(Ух) = У2 и Р (у2) = у,
и, следовательно,
^2(yi) = yi и Р2( у2) = у2.
Тогда траектория у -у{у\) замыкается лишь после двух "обходов" вокруг у
(см. рис. 2.27).
Итак, неподвижным точкам второй (&-й) итерации отображения Пуанкаре
соответствуют замкнутые траектории системы
(2.3.2), которые замыкаются после двух (соответственно, после k) обходов
вокруг траектории у-
*> Матрица возникает после выбора на 2 некоторых координат. Ее
собственные числа, конечно, не зависят от этого выбора. - Прим. ред.
2.3. Бифуркации периодических решений
45
4) Если вокруг замкнутой траектории у существует инвариантный тор (см.
рис. 2.28), то сечение 2 пересекает этот тор по некоторой замкнутой
кривой - "окружности" К. Эта кривая К переводится в себя отображением
Пуанкаре Р: для всякой точки хе/С мы имеем Р(х)е/С, или же Р(К) = К.
Итак, инвариантной "окружности" отображения Пуанкаре соответствует
инвариантный тор системы (2.3.2).
С помощью отображения Пуанкаре проблему бифуркации замкнутой траектории
системы можно свести к проблеме бифуркации неподвижной точки этого
отображения.
Сравнивая п.п. 2.3.1 и 2.3.2, получаем:
1. Рождению или исчезновению пары замкнутых траекторий соответствует
рождение или исчезновение пары неподвижных точек отображения Пуанкаре.
2. Бифуркации удвоения периода соответствует бифуркация неподвижной точки
х0 отображения Р, при которой от Хо ответвляется пара неподвижных точек
уь у2 второй итерации отображения Р. Заметим, что Хо - также неподвижная
точка отображения Р2.
3. Возникновению инвариантного тора Т2 около замкнутой траектории у
соответствует бифуркация неподвижной точки хо отображения Р, при которой
от точки х0 ответвляется инвариантная "окружность" (замкнутая
инвариантная кривая) отображения Р.
4. Бифуркации с потерей симметрии соответствует бифуркация неподвижной
точки отображения Пуанкаре, при которой от этой точки ответвляются две
другие неподвижные точки отображения Пуанкаре.
