Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 641

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 635 636 637 638 639 640 < 641 > 642 643 644 645 646 647 .. 742 >> Следующая

Ux" (0 в! Л ... Л UXo (0 eft || обозначает объем параллелепипеда
Определение. Предел (если он существует)
/ 1 II IL (t) е. л ... л IL (t) е. ||
Я (х0, е( ) = lim т 1п 11 - Хо , 1 ----х; *н- (2.5.2)
0 ' t^+oo* IIе, а ••• А е&|| '
называется й-мерным показателем Ляпунова траектории Г(х0)-Этот показатель
представляет собой "меру" скорости изменения объема параллелепипеда Pk
при его перемещении вдоль траектории Г (х0).
Условиями существования предела (2.5.2) мы здесь заниматься не будем1".
Нетрудно показать, что Я(х0, e(fe)) зависит лишь от подпространства е(Ч а
не от конкретного выбора векторов базиса. Наиболее важная информация,
касающаяся показателей Ляпунова, содержится в следующей теореме.
Теорема.
1. Одномерные показатели Ляпунова могут иметь не более п различных
значений Я, ^ Я2 ^ Я3 ^ ... ^ Кп.
2. ^-мерные показатели Ляпунова могут иметь ( " j различных
значений, причем каждый из них представляет собой сумму k одномерных
показателей Ляпунова.
3. Если линейно независимые векторы Ьь ..., Ьп выбраны случайным образом,
то выражение в правой части формулы
(2.5.2) с вероятностью 1 сходится2" к максимальному &-мер-ному
показателю Ляпунова Я<^ .
Замечания
1. Рассмотрим понятие одномерного показателя Ляпунова несколько
подробнее. Пусть ее R". Формула (2.5.2) при k=\ принимает вид
1 II (0 е ||
Я(х0, e) = lim-lnN |[е|| -• (2.5.3)
•'В исходном определении (А. М. Ляпунова) берется верхний предел. - Прим.
ред.
2) Это утверждение приобретает точный смысл после разъяснения того, что
означает здесь "с вероятностью 1". - Прим. ред.
58
Глава 2
Показатель Ляпунова Я(хо,е) описывает поведение траекторий, проходящих
через точки х0 + ее, |е[ -С 1, по отношению к траектории Г (х0) (см. рис.
2.36).
Если Я(хо, е) < 0, то это означает, что указанные траектории приближаются
к Г(х0) при /->-+оо, а если Я(х0, е) > 0, то удаляются. I61
Если в этом случае изменить начальное состояние хо на х0 + ее, е -С 1, то
разность <PXo+ge (t)- ФХо(0 будет расти со временем с экспоненциальной
скоростью: поведение динамической системы очень чувствительно к изменению
начальных условий.
2. Если в формуле (2.5.3) положить e = f(x0), т. е. выбрать вектор,
касательный кГ.(хо), то вектор Ux"(0e будет касательным все время: имеет
место соотношение UXo(/)f (x0) = f (фХо(0)-Если векторное поле f(x)
ограничено (||f (х) || < К для всех хе R"), то из (2.5.3) вытекает, что
Я,(х0,f(х0)) = 0. (Для того чтобы один одномерный показатель Ляпунова
траектории Г(х0) был равен нулю, достаточно, чтобы функция f(x) была
ограничена в некоторой окрестности ее оэ-предельного множества15.)
3. Второе утверждение теоремы мы проиллюстрируем на примере траектории в
R3. Согласно п. 1 этой теоремы, существует три одномерных показателя
Ляпунова. Согласно п. 2 этой же теоремы, число двумерных показателей
Ляпунова равно
j = 3 и их можно найти с помощью одномерных показателей
Х(л-о,е)<0
Рис. 2.36. Поведение близких траекторий.
Ляпунова:
^ = Я<1 -(- Яг, Яг ^ = Я] -{- Яз, Яз * = Яг -(- Яз; трехмерный показатель
Ляпунова будет всего один:
Я(,3> = Я) + Яг -f- Я3.
*> Если это множество не состоит из одной точки. - Прим. ред.
2.5. Показатели Ляпунова
59
4. Третий пункт теоремы указывает на возможность вычисления всех
одномерных показателей Ляпунова следующим способом. Выберем случайным
образом базис Ьь Ьг, Ъп и затем с помощью ЭВМ найдем максимальные 6-
мерные показатели Ляпунова, k = 1, 2 п\ обозначим их Я^>ах,
••¦> ^тах- Тогда все одномерные показатели Ляпунова можно определить с
помощью следующих соотношений:
1 -1(1)
л,\ - Лщах"
5 _а<2> jd)
Л2 - 'Чпах лтах>
1 _ 5 (3) 1 <2)
АЗ - Атах Атах>
л л (п) " (га-1)
л,п - Лшах ^тах •
5. Одномерные показатели Ляпунова для стационарного решения (р (t) =
х0) связаны с собственными значениями ц; матрицы Якоби J = f/(x0)
соотношениями: A,/ = Rep/. Показатели *,</> для периодического решения
р(^) периода Т выражаются через его мультипликаторы р;:
Я(/1) = -]г1п| р;-|.
2.5.2. Инвариантные множества
Множество М cr R" мы называем инвариантным множеством дифференциального
уравнения x = f(x), хе R", если любая его траектория, имеющая хотя бы
одну общую точку с множеством М, целиком лежит в множестве М.
С простейшими инвариантными множествами потока <р(^,х) мы уже встречались
в § 2.1-это были положения равновесия и замкнутые траектории.
Изучение свойств замкнутых инвариантных множеств проводится с помощью
специальных методов, описание которых выходит за рамки данной книги. Ниже
мы лишь кратко коснемся этой темы.
Определения
1. Замкнутое инвариантное множество М потока <р называется устойчивым (по
Ляпунову), если для любого е>0 существует такое 6е(0, е], что еслир(х,
М)^б, то p(<px(0, M)s^ ^ е для всех t ^ 0.
2. Замкнутое инвариантное множество М' мы называем аттрактором, если
существует открытое множество U s4-.
60
Глава 2
такое, что для всякой точки xgU выполняется требование
Р (Фх (0. &) -~t °-
Г -> + ОО
При этом множество U называется областью притяжения аттрактора si.
Предыдущая << 1 .. 635 636 637 638 639 640 < 641 > 642 643 644 645 646 647 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed