Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Некоторые авторы требуют дополнительно, чтобы в аттракторе si
существовала траектория у, которая его плотно заполняет б. Простейшими
примерами аттракторов могут служить (асимптотически) устойчивые положения
равновесия и устойчивые замкнутые траектории. У инвариантных множеств
обычно изучают их зависимость от параметров, а также их внутреннюю
структуру.
Инвариантное множество М называется внутренне неустойчивым (или
хаотическим), если любая траектория, которая лежит в М, является
неустойчивой по Ляпунову и имеет по крайней мере один положительный
одномерный показатель Ляпунова, так что траектории, лежащие в М,
разбегаются друг от друга с экспоненциальной скоростью. Мы будем
требовать, кроме того, чтобы хаотическое множество плотно заполняла бы
какая-нибудь траектория системы.
Определенную информацию на интуитивном уровне о ш-пре-дельном множестве
данной ограниченной траектории у дают ее показатели Ляпунова. Так, если
все показатели Ляпунова оказываются отрицательными, то можно ожидать, что
М=ю(у) состоит из одной точки - устойчивого положения равновесия.
Размерность такого множества М равна нулю. Если один показатель Ляпунова
равен нулю, а остальные отрицательны, то это указывает на наличие
одномерного аттрактора, например устойчивого предельного цикла.
Существование одного положительного показателя Ляпунова означает наличие
двумерного аттрактора, и т. д.2)
2.5.3. Явление Фейгенбаума
В этом пункте мы опишем один из возможных механизмов возникновения
хаотического множества в фазовом пространстве.
Пусть у нас имеется однопараметрическая система дифференциальных
уравнений
x = f(x, a), XGR^aeR'. (2.5.4)
*) Математики говорят "траектория у всюду плотна в М".
2) При наличии положительных показателей размерность М обычно оказывается
дробной (см. [8*], [12*]). - Прим. ред.
2.5. Показатели Ляпунова
61
Фейгенбаум впервые отметил следующее явление (см. замечание в конце этого
пункта). Пусть при а <. oci система (2.5.4) имеет устойчивое
периодическое решение с траекторией уа-При а = ai происходит бифуркация
удвоения периода, причем траектория уа при а > ai теряет устойчивость и
от нее (при а > ai) ответвляется траектория с двойным периодом. Далее,
при а = а2 происходит бифуркация удвоения периода для
Рис. 2.37. Последовательность бифуркаций удвоения периода.
траектории у№. Затем этот процесс продолжается, и мы получаем бесконечную
последовательность значений параметра <xi, а% ..., при которых происходят
бифуркации удвоения периода (рис. 2.37).
Фейгенбаум показал, что для последовательности {a/}/Li имеет место
соотношение
lim a/+1~a/ = 4,6692016 .... (2.5.5)
/-*¦00 a/ + 2 a/ + l
Число в правой части формулы (2.5.5) представляет собой универсальную
постоянную, одинаковую для всех уравнений вида
(2.5.4), у которых при увеличении параметра возникает вышеописанный
каскад бифуркаций удвоения периода и которые удовлетворяют еще некоторым
дополнительным условиям. Из
62
Глава 2
формулы (2.5.5) вытекает существование конечного предела вида
Нша/ = ово. (2.5.6)
/-" во
В результате описанного каскада бифуркаций возникает хаотическое
множество, поскольку при а-"-а," в некоторой области фазового
пространства возникает бесконечно много неустойчивых периодических
траекторий. Между этими траекториями "блуждают" остальные траектории,
которые вместе с первыми образуют хаотическое инвариантное множество
системы (2.5.4).
Замечание. Строго говоря, описанное явление было обнаружено Фейгецбаумом
при исследовании поведения неподвижных точек итераций /? одномерного
отображения fa: [0, 1]-"-[0, 1] (например, fa(х)= ах (1-х)) в зависимости
от изменения параметра а.
С помощью отображения Пуанкаре бифуркационные процессы для отображения fa
можно переформулировать для уравнения (2.5.4). При этом отображение fa
можно рассматривать как проекцию отображения Пуанкаре на некоторую
координатную ось в сечении 2.
Указанный переход от описания явлений бифуркации для неподвижных точек
итераций \п к описанию бифуркационных процессов для фазового потока в
окрестности замкнутой траектории с математической точки зрения не
является строгим; скорее речь идет здесь об эвристических рассуждениях. С
другой стороны, имеется много численных экспериментов, которые указывают
на существование описанного выше каскада бифуркаций удвоения периода и
определенную закономерность в поведении последовательности а,- (см. §
5.8).
2.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
В гл. 6 будут описаны численные методы, используемые для нахождения точек
бифуркации стационарных решений дифференциальных уравнений с Частными
производными (УЧП) параболического типа и, в частности, уравнений типа
"реакция - диффузия".
Последующее изложение призвано облегчить понимание этих бифуркационных
явлений. Мы покажем, как можно перенести некоторые методы теории ОДУ на
уравнения с частными производными параболического типа. Ради простоты мы
огра-
2.6. Дифференциальные уравнения с частными производными 63
