Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
векторов tlt t2. Исключение этих величин., связанных шестью условиями
из вышеприведенных неравенств, иначе говоря, разыскание критериев,
определяемых только исходными данными, связывается, по-видимому, с
непреодолимыми трудностями: чтобы их оценить, достаточно взглянуть на
формулы (26.14). Столь же громоздки иначе записываемые, но также
содержащие Nlt N2, N3 неравенства, приведенные в работах Ривлина и Сэйрса
(1977, 1978).
1. Здесь задача будет рассматриваться другим путем. Через эк, в
отличие от § 26 обозначаются производные э по щ, v2, v3
а компоненты акустического тензора в ортонормированном базисе е1( е2, е3
собственных направлений меры деформации Фингера определяются по формулам
(4.12.9), (4.12.20). В них главные напряжения ок заменяются их
выражениями через эк по
N•N = 1, te-tp = 6ep, N • ta = 0 (а, |3=1,2),
дэ
эъ " dvk ' 3ks
dvk dvs '
(4.3.12), (4.3.16)
14 Vi д2э
Получаем
Выражение Q12 преобразуется к виду
VxV^-V^ + v!-^
2ЩЭ1-
Vl - Vi
2
и после упрощений
VZQ12 = ViV2NiN2 (э12 +
V Vi-V2 J
(2)
400 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
При обозначениях
я Л D]3, У2Э2 4 ___ 4 V232___
^*12 21 2 2 ' 23 П32 2 ,2 >
Dl - D2 Da - D3
я _______ Я __ Рз^з----
Л31 'ЧЗ 2 2 '
D3 - Dl
D В ^lD2-S2Di p _______ p SoD3 33D2
12 21 2 2 > 23 Д32 2 2 >
Dl-Da D2-D3
,93D] -Э^3
BS1 - Bx
(3)
(4)
2 2
D3-Dl
акустический тензор представляется теперь выражением
3 3
"? 2 з,-^,-УАадо,.е^ +(Л12и22^ + Л13&1ЛГ|)+
1=1 k= 1
-4- (A23vlNl+A21vlNl) е2е3 + {A31v\N\-\- A32vlN22) е3е3 +
+ B12N1 N2v2v2 (eje2 + e2ex) + B23N2N3v2v3 (e2e3 + e3e2) +
+ B3lN3Nlv3v1(t3e1 + e1t3). (5)
Отметим еще соотношения
^12 + ^12 = ~ГУ2 > ^23 + ^23 = ^-Д' ^31 + B3l= Vs__Vi> (6)
A -В - fl+f2 А -В - Д+Д A -B - ?l+?i
12 Di + D2 ' Лг3 23 D2+D3' Лз1 "-Ds + D!1 ' ;
2. Неравенство Адамара (22.12) в соответствии с (22.14) и при
обозначении
NiVt = at (i = l,2,.3) (8)
теперь может быть записано в виде
з з
A (a, b) = 2 2 Э;ьа{аф?ь + А12 (а%Ы + а\Ь\) + А23 {a23b\ + a\b\) +
[=1 k=\
+ А31 (albl+albt)+2B12a1b2a2b1+2B23a2b3a3b2 + 2B31a3b1a1b3^0. (9)
В частности, приняв а1~а2 = 0, я3 = 1, Ьг - 1, b2 = b3 = 0, придем к
неравенству
Atl> 0.
Это условие и два аналогичных
Л12>0, А23^0, А31>0 (10)
представляют знакомые ЗВ<§-критерии (5.13.10), выражающие необходимые
условия эллиптичности системы уравнений равновесия рассматриваемого
материала.
Теперь, введя в рассмотрение величины
aibl = xi (t = l,2,3), (И)
i 2?
КРИТЕРИЙ АДАМАРЛ В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ
401
можно заменить (9) неравенством
А (И) Ь)-: 5] S "Ь 2ВХ2ххХ2 -f- 2Вгзх3х3 -f- 2В31х3х1
1=1*=1
Ь_
ь2 ] 1 'V3 \ь M2_l vt(b
+[-? (i-:)=+-s (-§7)1t-з (^)'+^ (urj
-I~4i [x%{t3 )" + X*
Д*0, (12)
в силу (10) выполняющимся при замене величины
х\
-Ь х\
! = xfz -
Х2_
г
7(2), 2 =
и ей аналогичной их минимумами (при фиксированных xj. Но f(z) достигает
минимума при
= 0,
2=м
Xz_ )=xl ii + *! h. = 2
*1 J
Г (2) = хМ^
и этот минимум равен
f{
Неравенство (12) теперь приведено к виду А (х) = эг1х\ + э22х\ + э33х\ +
2 (э12 + В12) х3х2 + 2 (э23 + Вгз) х2х3 +
+ 2 (э31 В31) х3хг -}~ 2 Л12 j хгх21 + 2 Л231 х2х31 -f- 2Л311 х3х31 ^
0. (13)
Оно выражает не только достаточное, но и необходимое условие выполнимости
неравенства (9), так как минимум выражения
Ai2 iflVA + albi) + Л23 (a\bl -j- а\Щ) -f- Л31 (а\Ь\ -j- afb3)
действительно достигается в области задания переменных as, bs.
3. Переход от неравенства (9) к (13) - решающее место всего
построения. Форма шести переменных заменена формой трех переменных,
правда, усложненного вида, так как последняя содержит не только
переменные х1г х2, х3, но и их модули. Задача в общей постановке остается
громоздкой; она упрощается, если ограничиться рассмотрением несжимаемой
среды.
о
В этом предположении аргумент VR выражения удельной
0 0 г-
потенциальной энергии a(VR) подчинен условию det VR=K/3 = 1. Это же
условие несжимаемости материала должно выполняться во всех сравниваемых с
актуальным состояниях, иначе говоря, и для аргумента
VR- (Е + r|Nb),
402 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
входящего в определение (22.8) неравенства Адамара. Итак,
det VR • (Е + rjNb) = det VR -det (E + rjNb) = det (E + i]Nb) =
= l + r]N-b=l, N-b = 0,
так как det (Е + Л^Ь) = 1+r|N-b.
Теперь no (8) и (11) приходим к соотношению связи
N-b-X = = = 0, (14)
i- 1 /=1 i-\
налагаемой на переменные xi в несжимаемой среде. Поскольку vt > 0, оно не
удовлетворяется, если xt, х2, х3 имеют одинаковые знаки-два из восьми
октантов пространства этих переменных выпадают из рассмотрения. Сочетания
знаков в остающихся исчерпываются формулами
1. > 0, х2 < 0, ха < 0, 1'. < 0, х2 > 0, х3 > 0,
2. х2 > 0, х3 < 0, хг < 0, 2'. х2 < 0, х3 > 0, >0,(15)
3. х3 >0, < 0, х2 < 0, 3'. х3 <0, хг > 0, х2 > 0.
При обозначении
1*/1 = +?/ (i= 1,2,3) (16)
приходим к рассмотрению лишь трех комбинаций решений уравнения (14)
(1, 1 ) Xi ^ it X3~^-V3^31 Ех(tm)^2 + Ез"
(2,2) Х2 - it Ц2?2, Х3 = -(- 03|3, Xi = -р , Ег = Ез + , (1
