Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
12 - кососимметричный тензор. Это позволит придать неравенству (1) вид
JL
drf
HVR-(E + r)Q)-exp (-TJQ)
т)=0'
>0.
(2)
Тензор Q далее представляется его разбиением на симметричное и
кососимметричное слагаемые
Q = S + 12, S = |(Q + QT), Q = 1(Q-(T),
а выражение удельной потенциальной энергии приобретает вид
э (vR -(Е + r|Q)) = a (vR- (Е + r|S + r|12)- exp (-т)й)) =
- T]2Q2 + ..
э( VR-(E + t|S + r)Q) • E- r|Q
= 3 VR
VR
E + ilS-j Ц2 (122 + 2S-12) + .. . jj=^VRj +
riS--5- r)2 (122 + 2S-12)
0
•VRr
-2-t]2S-VRr- • эq 0 • S VR1
2
1 2
~~2 ^ 0 VR
э ^ VR • (E -f- r)S)
vr Vr
¦ (Q2 -212 • S) ¦ VRT -
I
ay VR • (E + T)S)/ -
у уT- -(Й2-2S-12).
Здесь была выделена совокупность слагаемых э ^VR - (Е r|S)у =э (vr) +
г\э0 • -S-VRT +
VR
+ |Tl2S-VRT--a0 0 • • S - VRT + . . .,
VRVR
5
382
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ.
проведена замена
э0 • -^2-2S-Q).VRT = VRr-P- .(Q*-2Q-S) =
VR
и не выписаны слагаемые степени т]2 и выше. Приходим к соотношению
j/|t ..(Я*
-2Q-S)
Л
dif
т э (VR^E + ^Q))
11 = 0
л
dr\2
г 0
^VR-(E + t)S)
/
g
г] -О
Т• (Й2 -2Q-S), (3)
позволяющему выделить в определении выпуклой по градиенту функции часть,
соответствующую симметричной составляющей S тензора Q.
В частном случае симметричного тензора Q, когда Й---0, свойство
выпуклости по градиенту оказывается равнозначным критерию монотонности
Колемана-Нолла (5.9.4).
При S == 0, Q = Q критерий выпуклости (1) приводит согласно (3) и
(1.11.4) к неравенству
Т -Й2 = Л(Т- Й2) = ю-Т-ю-/ДТ) oo-to <0. (4)
Приняв, что to - единичный вектор ej одного из главных направлений
тензора напряжений, имеем
Oi - (Oj +о2 + о3Х0, o2-fo3>0
- пришли к уже известным неравенствам из гл. 5, § 9.
Проводимое далее преобразование имеет целью исключить из представления
(3) кососимметричный тензор й. Имеем
Т Q QT = Т - ¦ (S-j- й) • (S- й) = Т- • S2 -T -S fl + T- fl S -
-Т• й2 = Т -S2-Т- -(Й2 -2&-S). Возвратившись к (3), получаем
¦ о
^HVR^E + riQ)
п = 0
|/|(Т- Q*QT-Т- S2)
д-
+
Л
dvf
VR- (Е + t]S)
т) = 0
(5)
Это равенство позволяет дать еще одно представление удельного значения
второй вариации удельной потенциальной энергии Ф. Действительно, приняв
Q - Vw, S = е
и вспоминая (2.8), имеем
^HVR.(E
2Ф
r)Vw)
У-(т- -Vw- VwT -Т• • 8:
Vwr VR1
Л
dr\2
VwT- VR
э \ VR • (E + йе)
о о ' VR VR
0
1 = 0
(6)
>22]
ВЫПУКЛОСТЬ ПО ГРАДИЕНТУ. УСЛОВИЕ АДАМАРА
383
Выражению удвоенной второй вариации, удельной потенциальной энергии
теперь придается вид
2r2=J J $Ф^=5 J J Т-.VwVwMV - J $$T.-eW +
причем согласно критерию монотонности
S S S ^a(vR.(E + iie))^>0.
tj = О
(7)
(8)
Определение выпуклости по градиенту при замене в нем Q диадой векторов ab
принимает вид неравенства Адамара (J. На-damard, 1903)
А (а, Ь):
d2 dr\2
( 0
у а (ч VR • (Е + цаЬ)
т)=0
0.
(9)
В другой записи, имея в виду представление
а VR- (Е + цаЬ) У = а У VR; -f г]э0 • -ba. VRT +
VR
1 с 0 + у г|2Ьа• VRT--э0 0 --baVRC
vr vr
этому неравенству придается вид
о о
ba-VRT- а0 0 • baVR1 VRVR
0.
(10)
По (4.11.5) оно оказывается связанным с определением эллиптичности
системы уравнений равновесия и сильной эллиптичности ее, когда
неравенство (9) строго выполняется.
В компонентном представлении
д'1э
7 о о VRVR
ПП'7п---------о--
^V sX/^V pXq
А**р*
(11)
и неравенство Адамара записывается в виде
Л (а, Ь) =AstPqasb\apbl0 (а^ = а^^, Щ=Ъ-гг). (12)
По (4.9.12)
PVrT-r,PrR' + ]/ rT.Tf..(CII + CiII).-VRT-C",
(13)
0 о = *о : VrVr vr
384 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ.
причем, повторив .вычисление в гл. 4, § 10, можно убедиться, что
слагаемые PVrT, rJPTR's в этом выражении взаимно уничтожаются. Получаем
Л (a, b) = У у ba-VRT - • VrT-TF • • (Сп + СШ) • • VRT-Cn - • ba-VRT=--=
]/ уba--TF•• (C" + СШ)- • VRT - • VR-ab =
= У |b-[a-(TF+TF--CII)-F-a]-b= У |b-Q-b. (I4i
Здесь no (4.11.13) в рассмотрение введен акустический тензор Q = a - (TF
+ TF- -Сц)¦ F - а, (15)
и критерием эллиптичности материала оказывается выполнение неравенства
Адамара (10) или (12), а сильной эллиптичности - усиленного неравенства
Л (а, Ь)>0. - (16)
В сильно эллиптическом материале все собственные значения акустического
тензора положительны при любом выборе &ф0.
Если f (х)- выпуклая функция для всех х > 0 и материал с удельной
потенциальной энергией э сильно эллиптичен, то таковым же будет материал
с удельной потенциальной энергией /(э). Действительно, при обозначении
Ф (л) = э (VR + ti^R • ab), Е(т]) = /( ф(т]))
имеем
(л). F" (л)--=^-[ф' 0l)]s + ^V0l).
так что
d?f ' 0
[Е"(л)]ч=о=-^г(*о • • ba-VR1
VR
+ ?fba-VRT--50 0 --ba-VR^>0, (17)
Т V VRVR /
так как по определению выпуклой функции /ф >0, fф > 0.
Приводимый в заключение пример*) иллюстрирует, насколько неравенство
Адамара менее ограничительно по сравнению с критериями выпуклости вида
(1). Рассматривается материал с удельной потенциальной энергией
деформации (5.6.17)
+ (18)
1
сильно эллиптический при любых деформациях.
*) Сообщил автору Е. Л. Гурвич.
>22]
ВЫПУКЛОСТЬ ПО ГРАДИЕНТУ. УСЛОВИЕ АДАМАРА
