Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
на О: w = 0. (1)
Его можно мыслить осуществимым, предполагая, что в натуральной
конфигурации тело заключено в абсолютно твердую обойму и предотвращены
смещения прилегающих к ее внутренней поверхности частиц среды.
Предполагается наличие приспособления, допускающего изменение размеров
аффинно преобразуемой обоймы.
В рассмотрение вводится вектор
w/ 1 2 \ w(^' ?*' ?3)' W1.
W(? ' " ' ")"( о, (?¦,,•,"•)€*, (2)
непрерывный по (1) и кусочно дифференцируемый в g3. Это
позволяет заменить (23.1) выражением
55JvwT-.a0 о • -VwMy = 5J5 VWT--э0 0 •-VW' dv, (3)
V VR VR <?з VR VR
в котором, напоминаем, Эо 0 -не зависящий от координат
VRVR
тензор четвертого ранга.
§ 24] СИЛЬНАЯ ЭЛЛИПТИЧНОСТЬ и устойчивость 389
Определенный в <§3 вектор W представйм преобразованием Фурье
Wig1, д2, д3) = (2л)-3/г §§§ exp(r-b))C((0u со2, со3) йЦ Ло2 йЦ, (4)
причем С -трансформанта Фурье вектора W
С-= (2л)~3/г ехр (-iT-co)W(y1, q2, q3)dv. (5)
<3э з
Обозначая чертой над буквой переход к сопряженным величинам и переходя к
декартовым координатам а,ч, имеем
Шо ° ^ crcd^r dWs
* v"" _ &
= X, Aqr,s Ш i(aq) СГ (- i0i) ((Ч) CS Я(r)) d<a1 d<a2d0)3, (6)
qrts -"
причем последнее равенство -следствие теоремы Планшереля и теоремы о
дифференцировании -трансформанта производной функции по ат равна
произведению тт на трансформанту функции. Равенство (3) теперь
переписывается в виде
5JJVWT--3Q о • -VWTdn=
?3 VRVR -°° rs qt
= Ш Х|С|2сЛ X. A4rts ^e^td^d^da);,, (7)
-оо rs qt
причем введены векторы с, со
С s (Од
г =------------- р --
5 | С | ' Я со '
Для сильно эллиптического материала квадратичная форма компонент
единичного вектора е
qt
определенно положительна. Пусть Xrs - ee наименьшее собственное значение.
Через е > 0 обозначим наименьшее из %" и заменим Krs при r=?s нулями.
Имеем
%A*rt*e,ft>e8rs,
qt
Ц X X e4et >6 2 Xс'с* = ? X СА = 6
390 МАЛАЯ ДЁФоРмАцйя НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА 1гЛ. 8
и, возвратившись к (3) и (7), получаем Г Г Г VwT • -э0 0 • • VwT dv > e i
i i У, to; I Cb I2 cfo, da), diо, =
•'p VRVR i.k
<*>
/. к v j, k
jy <3
Этим доказано, что равновесная аффинная деформация сильно эллиптического
материала в условиях первой краевой задачи устойчива.
Сильная эллиптичность -свойство материала в некоторой области
деформирования. Например, для полулинейного материала эта область
определяется неравенствами (5.5.20), для материала Блейтца и Ко -
неравенствами (5.6.16); гипотетический материал (5.6.17) сильно
эллиптичен при любых деформациях.
Когда в описываемом здесь "мысленном эксперименте" определяющие аффинную
деформацию параметры выходят из области сильной эллиптичности, ранее
устойчивая ^-конфигурация перестает быть устойчивой. Сменяющая ее новая
равновесная (fy3)-конфигурация, если она существует, не аффинна,
потенциальная энергия в ней меньше, чем в aJf3. Процесс перехода из ^ в
должен сопровождаться перемещениями частиц тела в занимаемом им
фиксированном объеме. "Материалу некуда деваться" - следует ожидать
появления в устойчивой ^-конфигурации (с минимумом энергии) появления
складок, точек и линий разрыва производных.
§ 25. Пример. Диск, деформируемый в жесткой обойме
Диск единичного радиуса в отсчетной натуральной конфигурации заключен в
цилиндрическую обойму, снабженную приспособлением, допускающим изменение
ее внутреннего радиуса. Материал обоймы (полого цилиндра и покрывающих
его плит) - абсолютно твердый. Предполагается отсутствие перемещений
частиц материала диска относительно покрывающих его поверхностей обоймы.
В частности, компонента тензора удлинений по направлению,
перпендикулярному плоскости диска, и3=1.
Материал диска - полулинейный. По (5.5.20) он остается сильно
эллиптическим при выполнении неравенств
/.0 = ^ + 0, - у4^>0,
Д = (1-v)a1 + w2 - 2v > 0,
L-г = vo, -j- (1 - v) vz - 2v > 0.
§25] ПРИМЕР. ДИСК В ЖЕСТКОЙ ОБОЙМЕ 391
Область сильной эллиптичности - устойчивой аффинной деформации- в
квадранте ty > О, v2 > 0 плоскости щ, v2 ограничена отрезками с
координатами концов
[(0; 2), (у^,; l) на прямой Ьг = 0,
(2i °)- на прямой L2 = 0, (2)
(г=^Н 1) > (*; гЬ) на прямой Ь0 = 0
И расположена над ними. На биссектрисе угла между осями vt, v2
расположена ближайшая к началу координат точка
ui = и2 = 2(1-v) '
и при
"*<2(П=Ч (S"1'2) И)
материал теряет свойство сильной эллиптичности.
Материальными являются полярные координаты г, ср в отсчетной
конфигурации. Преобразование
R = kr, Ф = ф, Z=z, R = ferer + i32 (5)
определяет некоторую аффинную деформацию.
При
k>K = o^yLv) (при v = 0: Л0 = 1; при v = l; *0=l) (6)
материал сильно эллиптический, аффинная деформация устойчива, при k<_k0
неустойчива.
Неаффинная деформация при наложенных связях может быть осуществлена, в
частности, наложением на деформацию (5) поворота на угол ф(г), равный
нулю на окружности диска
ф(1) = 0. (7)
Вместо (5) имеем
R = kr, Ф = <р + ф(г), Z - z или R = fere^ + i32, (8)
Причем
eR = er cos ф + еф sin ф,
Зер дер , ,
~дФ= еФ = -^ = -ег31Пф + ефсо5ф,
