Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
Варьируя по правилу (10.9) соотношение, определяющее главные значения qs
и главные направления es симметричного тензора Q, имеем
Q ¦ = 2 Qs^s> Q ' Q ' = (.Qs^s "Ф Qs^s) (1)
s s
или после скалярного умножения на гк
е/г • Q* •е* + 5! qktk ¦ ts == >] (q'stk ¦ ts + qsek • e().
k S
При k=~-s, eiS-eJ=l, е^-е( = 0; при k=^s, ek-es - 0. Получаем
л* • eA'Q '?s Cfc-Q -e^
?,-e,-Q.e" e."i;T^7e' (2>
k
(штрих указывает на пропуск слагаемого k-=s). Таковы формулы для
конвективных производных главных значений и главных направлений тензора.
ЛНй л-у
В применении к мере деформации Коши -Грина по (10.10), (6.1), (6.2) имеем
^.0 0 0 0 0 о
Gs = 2e,-VR.eVRTe, = 2ec-U0?.0Tllet =
S
0
2VGsts-0-e-0^-tsVGs,
2 А. и. Лурье
34
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ.
так как ts- по (6.5) находим
Gs = 2Gsts • в ¦ cs.
(3)
Представление вектора ej аналогичным образом преобразуется к виду
,оо о о п , _____
efe.vR e.vRT.ej° о V VGsGk
G*~Gk * и
e: = 2S
оу'j^?ke -в ее -zz+ Gs-Gk k sk'
(4)
Задавшись представлением (6.6) сопровождающего поворот ортогонального
тензора, можно представить его конвективную ' производную в виде
v-^ Q- 0 0 ] /0 0 0 0
О'
2 G
Vgs
¦VR +
о о
+Eyt',VR
t-2??'
s к
0 0
^ . y~Q~ ^ ~Ь
V Gk
VR + 0-Vw. (5)
Были использованы формулы (3), (4) и (10.7). Двойная сумма преобразуется
к виду
ЕЕ'
s к
е*-е- е.У Gs~Gk
(VGk~VGs)
о о
еье, = -
ЕЕ
s к
е?.?.в..
о о
VGs+V'Gk
и это позволяет объединить суммы в квадратных скобках в (5). Приходим к
искомому представлению конвективной производной
е*-е-е^
s k
Vgs + V Gk
0 0 о
- zkzs- VR + O- Vw
Здесь использованы формулы (4.18). Имеем также
°т-=-2 ZL у9^уж 'Vr+VwT • °т
(6)
(7)
Приняв представление (6.5) тензора О, легко проверить выполнение условия
0' 0г + 0 От =0. (8)
l2j ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ 35
Отметим также соотношения
О* • VRT = VR • От = 0. (9)
Действительно,
0' • VRT = 0' От U = (0' От) -U = 0,
так как тензор 0'0Т по (8) кососимметричен, a U симметричен.
Основываясь на формулах (6), (7), можно вычислить и конвективные
производные тензоров искажений U, V
U = (vR-0T)'=^R-(Vw-0r + 0T'),
V = (vRT -о)' = (10)
= Vw- • V + VRT• O' Vw- - V + V • Vw -2 ?? VsV,etes.
S k
Сославшись на (9), имеем также
/х (U)* - 1г (U') = Vw- Ог VR = Vw -V. (И)
§ 12. Вторая вариация скалярной функции тензорного аргумента
Мера деформации Gx в "^("-конфигурации представляется ее точным
выражением
Gx = VRX - VRTX = VR • (E + T]Vw) • (E + tiVwt) • VRT =
= G -j-2r| VR •?• VRT -f- r|2VR • Vw - VwT- VRT. (I)
Поэтому следует иметь в виду при вычислении с учетом сла-
гаемых второй степени относительно параметра малости ц необходимость
внести в формулу (II.4.23) для второй вариации <р (Gx)
о о
слагаемого ifVR- Vw-Vwt- VRt в выражение множителя 8GT при первой
вариации. Формула (II.4.23) приводится к виду
Ф (Gx) - ф (G) = фс (G) • ¦ (2r)VR •?• VRT + p2VR • Vw - VwT • VRT) ~f-+
j2t]VR-e-VRt -фсс (G)- -2pVR•?• VRr -j- . . . = г]фс (G) ¦ -G'-f
+ ^[2ф0 (G)--VR-Vw-Vwt-VRt + G'--9gg (G)--G*] + ...,
(2)
причем G' задается no (10.10). Эта необходимость отпадает при
о
Разыскании второй вариации скалярной функции аргумента VR; 2*
36 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. i
тогда в (П.4.23)
8VRT - t]Vwt- VRT;
/ ° \ / о \ о (3)
ф ^ VRX/) - ф VRJ = т]ф0 • • VwT -YRT +
VR
+ Y Vwr-VRr--ф0 0 • VwT-VRr-f- ...
VRVR
Например, при *p(G) -/ДС), фс="Е, tpGG = 0 и по (2)
Ji (Gx) = 1г (G) + 2rjE • • VR • e • VRT + t)*E • • VR • Vw • VwT • VRr =
= (G) + 2i]F •-e +T]2F • • Vw-VwT (4)
- конечно, это же выражение непосредственно следует и из (1). При
ф(0)=1/7ЛО), фс(0) = | /77(0) G-1,
Фос (G) - 4 /77(0) G^G1 +1 VTa Go1
и по (2)
VJ7W)~VT^)=У7Ж) {\Ф-1 • о-+
+ ~ц2 - G'- G"1G_1- -G* + G-1- • VR. Vw-Vw1-VR' +
+ | G'. -Gg1 • -G'j | •
Вычисление входящих сюда выражений по (II.4.20) и правилам свертывания
(1.7.16) дает
yG1- -2VR.fi- VRr=-- VRrG_1- VR- ? = E- ?-V-w,
о о
G_1- • VR - Vw - VwT - VRr = E • ¦ Vw - VwT = Vw - - Vwr,
у G*. -G^G1 -G' =~(G*. -G-1)*- (V-w)2,
1 /n • /"¦> - 1 /"¦> •
у u • • Ug • u =
= _ VR e VRT- -G-i-rV-G-1 (r,rf + rtr,)- VR.?. VRt =
О О Г 0 00 01
= - ? VRr G-i-rV-G-^VRLVR^iyvVR + VR1 r^ VRj • •?
= - ?. • Rf R* (R,R( + R(RJ- •? = - ?•• (Сш + C") • • ? =
= - 2fi ••? = -•2/Де2).
§l3] КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 37
Были использованы также выражения градиентов места (3.1) и сверток
(1.15.4) изотропных тензоров с тензором второго ранга. Приходим к
соотношению
/77(0*) - /77(G) =
= //3(0){Tl/l (e) + ^-[7i(e) + Vw- • VwT 21 j (е2)]| =
= //s (G) |r|V- w + -T-r)2[(V-w)2 - Vw- • Vw]| . (5)
Следствием - служит формула, определяющая вычисленное с учетом слагаемых
порядка т|2 приращение объема тела после наложения поля перемещений r|w
1/х-+ [(V-w)2-Vw - • Vw] dV. 4(6)
V г
§ 13. Кинематические соотношения
По уравнению движения (1.3) частицы <Jl{qx, q2, q3) определяется вектор
ее скорости
V = WRto1. <Л<ЛО- (О
После замены в этом представлении материальных координат координатами
места в актуальной "^-конфигурации (см. § 1) выражению (1) придается вид
