Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.
Скачать (прямая ссылка):
МЦ-гт 9 Urn (6)
das - - dat W
Эта система восемнадцати дифференциальных уравнений первого порядка в
частных производных распадается на три системы
^I8j ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА МЕСТА 51
по шесть уравнений (т -1,2,3). Она "вполне интегрируема" - условия
интегрируемости ее по (4) выполнены тождественно.
Доказывается, что существует трижды непрерывно дифференцируемое решение
этих систем, принимающее наперед задаваемые значения *)
zf-=Asm при ак = а% (7)
и в окрестности этих значений
хт = X'sm (as - + хЦ1. (8)
Иначе говоря, в окрестности Л0 (а") вектор места R предста-
вим в виде
R = >m^sm -#о) + R0 = (г -го)-Л + R0, A = A;mi4'im, (9)
где А -постоянный тензор, R0 -вектор-радиус а?0. Поэтому о о
Rf = iyA, VR=r5iY А = A, VRT = Ar, G = A AT
в окрестности а?0. Но тензор G задан, поэтому А - не произвольный
постоянный тензор, его девять компонент связаны шестью соотношениями.
Принимая G (а$, а\, aJ) = E, можно этим соотношениям удовлетворить,
полагая
Е = А'Ат, А = О; R = (г-г0) - О + R0 (10)
- как предвиделось, преобразование отсчетной конфигурации в актуальную
определено с точностью до аддитивного жесткого перемещения среды (§ 4). В
решение входит шесть постоянных - три компоненты R0 = R(�) и три
независимых параметра, определяющих поворот среды в точке Л0.
Аналогично решается задача об определении вектора места г (<?\ <72, q3) в
отсчетной конфигурации по заданию в актуальной конфигурации меры Альманзи
&f=Vr<- (и)
Векторный базис rs определяется системой уравнений
(12>
интегрируемой при тождественном обращении в нуль шести независимых
компонент (III. 10.21) тензора Риччи (конечно, в
*) Карта н Э. Геометрия римановых пространств.- М.; Л.: ОНТИ, 1936.
Теорема доказана в предположении', что функции Gsf (а1, а2, а:!) дважды
непрерывно дифференцируемы по всем переменным ак в некоторой односвязной
области их задания. В "Курсе математического анализа" Э. Гурса (т. II)
доказы-
вается существование голоморфных решений вполне интегрируемых систем с
голоморфными правыми частями.
52
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
О
(III .10.15) следует заменить \ks, т] на [&s, tri\). Вектор места
определяется квадратурой из соотношения
dr = rsdqs. (13)
§ 19. Тензоры аффинной деформации
При однозначном и дважды непрерывно дифференцируемом преобразовании
материальных координат qs к новым координатам qr
qr = qr (q1, q\ q3) (1)
символы Кристоффеля преобразуются по формулам (II 1.4.9). Записав эти
формулы один раз в векторном базисе актуальной конфигурации, второй - в
отсчетной, после почленного вычитания придем к соотношению
<2>
в котором cf, cl определяются только преобразованием (1) и никак не
зависят от выбора векторных базисов. Этим доказано, что разности символов
Кристоффеля в актуальной и отсчетной конфигурациях оказываются связанными
преобразованием вида (III.4.10) и поэтому представляют компоненты тензора
третьего ранга
А* - ( f q\ HI
- ( St ) ~ I St | • {6>
Этот тензор можно определить как в актуальной, так и в отсчетной
конфигурации представлениями
А -= R*R'R,A?,, Ar=-ReR'R'A?" (4)
A = r'r'r qAlt, Ar = r9r4rMfb (5)
симметричными относительно нижних индексов s, t. Знаком "т" обозначена
замена триады R"R^R^ (или rVr?) на R^R^R' (на r?rV). Формулы (4) и (5)
определяют различные тензоры, имеющие одинаковые компоненты (тензоры-
"изомеры").
Аффинным называется преобразование отсчетной конфигурации в актуальную, в
котором декартовы координаты актуальной конфигурации - линейные функции
декартовых координат отсчет-
§19l
ТЕНЗОРЫ АФФИННОЙ ДЕФОРМАЦИИ
53
В другой записи
R --= (г - r0)-A + R0,
(6)
где А-постоянный тензор - тензор, компоненты которого в декартовых
координатах постоянны. Ковариантная производная Л равна нулю (при любом
выборе координат qs).
Следствием (6) служат соотношения
Значит и тензоры (4), (5) - нулевые, если преобразование отсчетной
конфигурации в актуальную не отличается от аффинного. Эти тензоры,
характеризующие "неаффинность" преобразования, называются тензорами
аффинной деформации (А. П. Норден).
Формулы (3) можно представить через ковариантные производные мер Коши -
Грина и Альманзи. Имеем
Отсюда и из двух аналогичных равенств, получаемых круговой перестановкой
индексов sir, находим
после подстановки в (8) приходим к искомому представлению
так что
(7)
dGst\ dqr J
(8)
Но в базисе отсчетной конфигурации
Теперь учитывая, что
о
о
Аналогично
получим
АЪ= - -^g"r(Vsgtr + Vtgsr - Vrgst)-
(10)
54 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
Вспомним также, что по теореме Риччи (III.5.11)
VG^= 0, Vgst = 0;
можно представить (9) и (10) также через ковариантные производные
компонент тензоров деформации (7.8)
АЬ = G?r ('Vsctr + Vtcsr - Vrcst), Ah g*r (Vsatr + Vtars - V,.asf).
(П)
Применение тензоров аффинной деформации позволяет избежать введения
символов Кристоффеля в представлениях дифференциальных операций над
тензорами. Исходными соотношениями служат формулы дифференцирования
градиентов места
{ s*} riR"" {/J r,7^=^rAR,=7l^r,-?R=r,-A. VR.
