Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Холодниок М. -> "Методы анализа нелинейных динамических моделей." -> 200

Методы анализа нелинейных динамических моделей. - Холодниок М.

Холодниок М. , Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 363 c.
Скачать (прямая ссылка): metodianalizanelineynihdinammodeley1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 194 195 196 197 198 199 < 200 > 201 202 203 204 205 206 .. 742 >> Следующая

(3)
так что
U-G1'2, V - F,/2; 0 = G-V..VR = VR-F-*/.. (4)
Тензоры U и V называют левой и правой мерами искажений.
Их главные значения по (4.10) равны VGk = vk, а главные нап-
о
равления задаются ортонормированиями триэдрами es и е^. Ортогональный
тензор, осуществляющий совмещение первого триэдра со вторым, по (1.8.12)
может быть представлен выражением
о о
О = е5е\ От = е^е5, (5)
преобразуемым по (4.18) к видам
/0° оо о о N
0 = [ ete1 е8е2 е3е3
Vi/gT VgI__ Vg3/ _
От = (КG^e1 + ]/G2e2e2 -f YG3e3e3) • Vr = F1/2 • Vr = V - Vr. (7)
Представление (6) непосредственно проверяется по (4). Следствием (1) и
(3.5) являются соотношения
Vr = (vr)-1 г=От- U_1= V_1Ot, VrT= U10 = O V-1. (8)
Из них также следует представление (7). Отметим еще применяемые далее
формулы
V = От• U• О, U = 0 V От; F =0T G 0, G = 0 FOT. (9)
Процесс деформирования, описываемый мерой Коши-Грина,
можно характеризовать изменением длин единичных отрезков
по главным направлениям до значений vk и последующим пово-о
ротом триэдра в триэдр главных направлений меры Фингера.
Ортогональные тензоры, сопровождающие деформации, которые здесь
рассмотрены, обозначаются, если требуется их отличить от других
ортогональных тензоров, 0х, Охт.
Тензоры G и g (или F) непосредственно вычисляются через производные
векторов места R, г. Определение же тензоров U, V - извлечение
квадратного корня из тензора - неизбежно
). VR = G-'/2. VR=U-!-VR, (6)
§7] ТЕНЗОРЫ деформации 23
потребовало бы представления через эти данные главных значений и
направлений G и F, возможного лишь при конкретном числовом задании
компонент Gst, gst.
Через правый тензор искажений выражается применяемая иногда мера
деформации Генки
H = lnV, V = ехр Н = е^Ч/Gj + е2егКС2 + ege8}7 G3. (10)
Главные значения и первый инвариант меры Генки равны
я*=1п/ё;=1п1>*, /1(н)=1п1/адс;=1п]/-|. (И)
о
Замечание. Собственные векторы es, ts определены с точностью до знака,
если собственные значения Uk тензора U некратные. Поэтому формула (5)
определяет восемь различных ортогональных тензоров, когда все U к
различны, и континуум ортогональных тензоров при наличии кратных
собственных значений Uk тензора U. В соотношении (5) предположено, что
вы-
о
браны какие-либо три собственных вектора ей; собственные векторы tk
тензора V определяются вслед за тем формулой (4.18).
§ 7. Тензоры деформации
В рассмотрение вводится вектор перемещения из отсчетной конфигурации в
актуальную
u = R-г (1)
- отсчетная и актуальная конфигурации неотличимы при и = 0. При этом
условии меры деформации представляют единичный тензор Е, тогда как
определяемые по ним тензоры деформации оказываются нулевыми тензорами.
Это облегчает их линеаризацию при достаточно малых градиентах вектора
перемещений.
о
В'выражениях мер деформаций градиенты места VR, Vr заменяются их
представлениями [см. (3.12)]
VR = Vr + Vu = E + Vu, Vr = VR-Vu-E-Vu (2)
и это позволяет преобразовать выражения мер к виду
" / О \ / О \ ГО ,001
G=U + Vu;-[E + VuTJ = E + 2 e(u) + y Vu-VuT| =E + 2C, (3)
= E-2A, (4) = E -2C',(5) e(u) + y VuT-Vu] =E+2A'.(6)
g = (E-Vu)-(E - VuT) = E -2 e (u) - yVuVu G~1 = (E-Vut)-(E-Vu) = E-2 F =
(e + Vut) * (e + Vu)=E + 2
2
e(u)-у VuT-Vu
24
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
О
Здесь е (и) и е (и) - линейные тензоры деформации (III.2.11) в v- и "^-
базисах
Симметричные тензоры С, А, С', А'- тензоры деформации, С - тензор Коши-
Грина, А - тензор Альманзи. Из определений (3)-(6) следуют соотношения
- ковариантные компоненты С и А, контравариантные С' и А' равны; но это
конечно, различные тензоры, так как С, С' заданы в у-базисе, А, А' в -^-
базисе. Например, контравариантные компоненты С и А равны
По (III. 2.4), (1.14.12), (1.11.4) тензоры вида Vu-VuT преобразуются к
виду
Vu • VuT = (е - Й) • (е -j- й) = е2 -(- е • fi - О • е - Й2 -
= е2 Н-е- Й ф- (е- Й)т - Й2 =е2 - сохе - (со х е)т ф- Есосо - coco. (10)
Здесь Q - кососимметричная часть VuT, со -сопутствующий й вектор. Это
позволяет представить выражения тензоров деформации Коши-Грина и Альманзи
в виде
С = у (G -Е) = у (Gsk - gsk) г'т\ А = -i. (Е -g) =
= (8) С'=у (E-G-1) = y (g* - GSk) ГЛ, A' = у (F - E) =
= l(^*-G**)R,Rft (9)
Qsi __ gSmgtnQ
Аналогично, имея в виду, что
VuT • Vu = е2 -)- со хе -f- (со X е)г + Есо- со - coco, (13)
можно записать выражения С' и А'. Например,
§ 7]
ТЕНЗОРЫ ДЕФОРМАЦИИ 25
В декартовых координатах компоненты С и А представляются формулами
Г -I , ] дик дик а 1 дик дик Лс
С<"> - ^> + ТШг- , Ast~B<st> - у ¦ (15)
Представления в криволинейных координатах составляются по формулам
ковариантного дифференцирования (III. § 5), а в ортогональных
криволинейных координатах - (III. § 7). Компоненты в декартовых
координатах тензоров С', А' имеют
вид
п' о 1 dus ди^ о ,1 dus дщ
C<st> - e<s/>- A<st> = e<st> . у ~dak (16)
(в декартовых координатах нет нужды компоненты вектора и отмечать
нуликом).
Инварианты тензоров деформации. Их несложно выразить через инварианты мер
Предыдущая << 1 .. 194 195 196 197 198 199 < 200 > 201 202 203 204 205 206 .. 742 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed